Применение матриц к решению систем линейных уравнений. Матричная запись произвольной системы линейных уравнений

Пусть имеется произвольная система из m линейных уравнений с n неизвестными:

Применим матричные обозначения:

— матрица коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы, где i – номер уравнения, а j – номер неизвестного;

 – столбец свободных членов (правых частей уравнений системы);

— расширенная матрица системы, матрица коэффициентов и свободных членов;

столбец неизвестных.

Используя введенные обозначения и свойства матричных операций исходную систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:   

Условие совместности произвольной системы линейных уравнений

Система линейных уравнений имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы системы, то есть в наших обозначениях rangА = rang .

Это утверждение называется теоремой Кронекера-Капелли.

Системы линейных уравнений имеющие единственное решение и правило нахождения этого решения

Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранги ее матрицы и расширенной матриц совпадают и равны числу неизвестных, т. е. .

В частном случае, когда количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть т = n и матрица системы уравнений А невырожденная. Значит определитель |А| = Δ системы уравнений не равен нулю.

В этом случае имеет место, так называемое правило Крамера, по которому исходная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера , где Δ_i, — определитель матрицы B_i, полученной из А заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов .

Нахождение решений совместных систем линейных уравнений общего вида

Пусть имеется система линейных уравнений, для которой выполняется условие: . То есть ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, а количество неизвестных больше ранга.

По определению ранга в матрице А существуетневырожденная квадратная подматрица порядка r. Не теряя общности, для простоты рассуждений пусть это будет подматрица . Тогда последние т - rуравнений являются линейными комбинациями первых r уравнений и не влияют на решения системы. Отсюда следует, что исходная система равносильна системе уравнений:

Члены с первыми r неизвестными оставим в левых частях уравнений системы. Остальные неизвестные будем считать пока некоторыми параметрами и перенесем члены, их содержащие, в правые части уравнений. Теперь, преобразованную описанным образом систему можно рассматривать, как систему r уравнений с r неизвестными с определителем, отличным от нуля.

К решению этой системы можно применить формулы Крамера, по которым неизвестные х₁,... ,х_rвыражаются через остальные неизвестные x_r+1,... ,х_п. Придавая этим неизвестным x_r+1,... ,х_пвсевозможныепроизвольные значения, могут быть получены все решения исходной системы.