II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r²,

где C (x₀; y₀). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x² + y² = r².

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х² + у² = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х² + у² = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х² + у² = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала(решение задач).

1. решить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. решить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

Решение

а) x = 3, тогда (3 – 3)² + (y – 5)² = 25; y² – 10y + 25 = 25;

y² – 10y = 0; y ∙ (y – 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда (x – 3)² + (5 – 5)² = 25; x² – 6x + 9 = 25;

x² – 6x – 16 = 0; x₁ = 8; x₂ = –2; точки С (–2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15–17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.

Урок 6
Уравнение окружности. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Результаты математического диктанта. Указать ошибки, сделанные учащимися.

2. На доске один ученик выводит уравнение окружности.

3. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу:

Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 4), проходящей через точку D (–6; –4).

Решение

Центр окружности имеет координаты А (0; 4). Найдем радиус окружности r = AD по формуле: d = .

r = AD = = 10; r = 10.

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид:

(x – 0)² + (y – 4)² = 10²; x² + (y – 4)² = 100.

Ответ: x² + (y – 4)² = 100.

2. Решить задачу № 969 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр окружности MN = =
= 2 ; найдем радиус окружности r = . Координаты центра окружности найдем, используя формулы для нахождения координат середины отрезка MN: x = = 2; y = = 1. Центр В (2; 1). Напишем уравнение окружности: (x – 2)² + (y – 1)² = 41.

3. Решить задачу № 970.

Решение

Центр окружности лежит на оси абсцисс, то координаты центра D (x; 0); радиус равен r = 5. Окружность проходит через точку А (1; 3), тогда AD = r, поэтому (x – 1)² + (3 – 0)² = r² = 5², (x – 1)² + 9 = 25;

x² – 2x – 15 = 0; x₁ = –3; x₂ = 5.

Следовательно, координаты центров окружностей D₁ (–3; 0) и D₂ (5; 0). Существует две таких окружности: (x + 3)² + y² = 25 и (x – 5)² + y² = 25.

4. Решить задачу № 971 на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С (0; y). По условию, окружность проходит через точки А (–3; 0) и В (0; 9), значит, расстояния АС = ВС = r радиусу:

(0 + 3)² + (y – 0)² = (0 – 0)² + (y – 9)²;

9 + y² = y² – 18y + 81; 18y = 72; y = 4.

Следовательно, центр окружности имеет координаты С (0; 4).

Найдем радиус окружности: r² = AC² = (0 + 3)² + (4 – 0)² = 9 + 16 = 25; r = 5. Напишем уравнение окружности:

(x – 0)² + (y – 4)² = 5²; то есть x² + (y – 4)² = 25.

5. Решить задачу № 1002(а) на доске и в тетрадях (решение задачи объясняет учитель).

Решение

Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x – a)² + (y – b)² = r².

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных a, b и r :

Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно . Подставив эти значения в любое из уравнений, например, в уравнение (1), находим значение r² и записываем искомое уравнение:

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; решить задачи №№ 969 (б), 981 (есть решение в учебнике), 1002 (б).

Урок 7
Уравнение прямой

Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Самостоятельная работа(контролирующая, 10–15 мин).

Вариант I

Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б).

Вариант II

Решить задачи № 959(в), 967, 960 (в).