II. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение разности двух чисел: а – b =
= c, то a = c+ b; например, 20 – 14 = 6, то 20 = 6 + 14.

2. Предложить учащимся самим «придумать» определение разности двух векторов.

3. Определение разности двух векторов (формулирует учитель): .

4. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов (рис. 256).

5. Введение понятия вектора, противоположного данному (рис. 257).

Обозначение: вектор, противоположный вектору , обозначается так: – . Очевидно, .

6. Доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов справедливо равенство .

7. Решение задачи о построении разности векторов  другим способом (рис. 258).

III. Решение задач и упражнений.

1. Выполнить практическое задание № 756.

2. Решить задачу № 762 (г) по готовому чертежу.

3. Решить задачу № 766 устно по рис. 259.

4. Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

а)

.

Ответ:

5. Решить задачу № 765.

Решение

1)

2)

3)

Ответ:

6. Решить задачу № 772 на доске и в тетрадях.

Доказательство

Так как ABCD – параллелограмм, то

Но поэтому откуда

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Постройте вектор  и найдите , если AB = 8 см.

Вариант II

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. Постройте вектор  и найдите , если BС = 9 см.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BC. Постройте вектор  и найдите , если АD = 12 см, BC = 5 см.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–82; вопросы 12, 13, с. 214; решить задачи №№ 757; 762 (д); 764 (б), 767.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, как определяется сумма двух и более векторов; знать законы сложения векторов, определение разности двух векторов; знать, какой вектор называется противоположным данному; уметь строить сумму двух и более данных векторов,

Урок 5
Произведение вектора на число

Цели: ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Ход урока

I. Изучение нового материала(лекция).

1. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой:

Автомобиль движется прямолинейно со скоростью . Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость  первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости?

Ответ дает рисунок. Естественно считать, что скорость второго автомобиля равна 2 (произведению скорости  первого автомобиля на число 2), а скорость третьего автомобиля равна –2 (произведению скорости  на число –2).

2. Определение произведения вектора на число, его обозначение:  (рис. 260).

3. Записать в тетрадях:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора  векторы  и  коллинеарны.

4. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел k, l  и любых векторов  справедливы равенства:

1°.  (сочетательный закон) (рис. 261);

2°. (первый распределительный закон) (рис. 262);

3°.  (второй распределительный закон) (рис. 263).

Примечание. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.

Например: