Понятие непрерывности функции.

Пусть функция  определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки.

Определение 7.1.Функция  называется непрерывнойв точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Таким образом, данное равенство и само понятие непрерывности подразумевают выполнение трех следующих условий:

1) функция  определена в точке  и в окрестности этой точки;

2) существует предел функции при ;

3) предел функции в точке  равен значению функции в этой точке.

Невыполнение хотя бы одного из этих условий означает то, что функция не является непрерывной в точке .

Определение 7.2. Пусть функция  определена в некотором интервале  и  – произвольная точка из этого интервала: . Для любого  разность  называется приращением аргумента  в точке  и обозначается : . Отсюда .

Определение 7.3.Разность соответствующих значений функции  называется приращением функции  в точке  и обозначается  (или или ):  или .

Используя введенные понятия приращения аргумента и приращения функции, дадим второе определение функции, непрерывной в точке.

Определение 7.4.Функция  называется непрерывнойв точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

.

Используя ранее введенные понятия левостороннего и правостороннего пределов функции, дадим, наконец, третье определение функции, непрерывной в точке. 

Определение 7.5.Функция  называется непрерывнойв точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства:

.

Определение 7.6.Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 7.7.Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале  и в точке  непрерывна справа (т.е. ), а в точке  непрерывна справа (т.е. ).

Пример 7.2.Доказать, что функция  непрерывна в произвольной точке .

Решение: Докажем непрерывность данной функции по определению. Пусть  – приращение аргумента в произвольной точке . Вычислим соответствующее ему приращение функции:

Тогда, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

Таким образом, , а это и означает по определению, что функция  непрерывна в произвольной точке .

Пример 7.3.Доказать, что функция  непрерывна в произвольной точке .

Решение: Докажем непрерывность данной функции снова по определению. Пусть  – приращение аргумента в произвольной точке . Найдем соответствующее ему приращение функции:

.

Тогда

.

В последнем равенстве воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции является бесконечно малой функцией.Таким образом, по определению (7.2), функция  непрерывна в произвольной точке  множества .