Тема6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ.

Классификация бесконечно малых функций.

Определение 6.1.Пусть  и  – бесконечно малые функции при  и известно, что . Тогда

1. Если , то бесконечно малые функции  и  называются эквивалентными при  и пишут  при .

2. Если  и , то бесконечно малые функции  и  имеют одинаковый порядок малости.

3. Если , то бесконечно малая функция  имеет более высокий порядок малости, чем функция .

4. Если , то бесконечно малая функция  имеет более высокий порядок малости, чем функция .

5. Если данный предел не существует, то бесконечно малые функции  и  называются несравнимыми друг с другом при .

Замечание 6.1.Аналогичным образом можно сравнивать бесконечно малые функции и при .

Некоторые эквивалентные бесконечно малые функциипри :

Применение эквивалентных бесконечно малых функций.

Для упрощения вычисления некоторых пределов можно использовать следующую теорему, основанную на эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема 6.1.Пусть и ,  и – попарно эквивалентные бесконечно малые функции при , т.е.  и при . Тогда если существует , то существует и , при этом выполняется равенство . Другими словами, предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями. Сказанное справедливо и для эквивалентных бесконечно малых функций при . 

Примеры 6.1. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

1) .

Решение: В данном примере имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулю при . Поэтому для вычисления предела воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций:  и при . Тогда 

.

2) .

Решение: В данном примере также имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Поэтомудля раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: , а знаменатель разложим на множители:

.

3) .

Решение: В данном примере снова имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Тогда для раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией:  и далее воспользуемся формулой разности квадратов: 

.

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Эквивалентные бесконечно малые функции».

Задание 1.Найти следующие пределы:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .

Тема7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНЦИИ.