Задания для самостоятельной работыпо теме «Предел функции».

Задание 1.Используя определение предела, доказать, что:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .

Задание 2.Найти пределы:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10.	2.11.	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .
2.16. .	2.17. .	2.18. .
2.19. .	2.20. .	2.21. .
2.22. .	2.23. .	2.24. .
2.25. .	2.26. .	2.27. .
2.28. .	2.29. .	2.30. .
2.31. .	2.32. .	2.33. .
2.34. .	2.35.	2.36. .
2.37. .	2.38. .	2.39. .
2.40. .	2.41.	2.42.
2.43.	2.44.	2.45.

Задание 3.Найти односторонние пределы:

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .

Тема5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.

Первый замечательный предел.

Определение 5.1.Первый замечательный предел – это предел вида

.

Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции и имеющих неопределенность . В этих случаях с помощью преобразований выражения под знаком предела необходимо привести его к виду первого замечательного предела, т.е. к отношению синуса некоторого аргумента к этому аргументу при стремлении последнего к нулю.

Примеры 5.1.Вычислить пределы:

1)          (первый замечательный предел).

2) . 

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы образовать первый замечательный предел:

.

3) .     

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби на , чтобы образовать первый замечательный предел:

.

4) .

Решение: Для того чтобы образовать первый замечательный предел, сперва преобразуем числитель дроби с помощью тригонометрических тождеств:

5) .

Решение: Для того чтобы привести к первому замечательному пределу, сперва сделаем замену переменных:

Замечание 5.1. При вычислении пределов также полезно использовать следующие следствияиз первого замечательного предела (здесь – постоянные числа):

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .

Второй замечательный предел.

Определение 5.2.Второй замечательный предел– это предел вида

Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, в которых показатель степени стремится к бесконечности, а основание, за счет бесконечно малого второго слагаемого, стремится к единице, т.е. когда имеетместо неопределенность вида .

Примеры 5.2.Вычислить пределы:

1)          (второй замечательный предел).

2) .  

Решение: Умножим и поделим показатель степени на 2, чтобы образовать второй замечательный предел:

.

3) .  

Решение: Умножим и поделим показатель степени на -6, чтобы образовать второй замечательный предел:

.

4) .

Решение: Умножим и поделим показатель степени на , чтобы образовать второй замечательный предел:

В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .

5) .

Решение: Так как  и , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела:

В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .

6) .

Решение: При показатель степени стремится к бесконечности, а второе слагаемое суммы в скобках стремится к нулю, т.е. имеем неопределенность . Для ее раскрытия сделаем замену переменных:

.

7) .

Решение: Так как , а , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела к соответствующему виду, после чего сделаем замену переменных:

Замечание 5.2. При вычислении пределов также полезно использовать следующие следствияиз второго замечательного предела (здесь  – постоянные числа):

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Замечательные пределы».

Задание 1.Пользуясь первым замечательным пределом, найти следующие пределы:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .
1.16. .	1.17.	1.18. .
1.19. .	1.20. .	1.21. .

Задание 2. Пользуясь вторым замечательным пределом, найти следующие пределы: