Задания для самостоятельной работыпо теме

«Числовая последовательность. Предел числовой последовательности».

Задание 1. Записать первые пять членов числовых последовательностей с заданным общим членом:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .

Задание 2.Какие из следующих числовых последовательностей  ограничены?

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .

Задание 3.Какие из следующих числовых последовательностей  монотонные?

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4.	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .

Задание 4.Используя определение предела, доказать, что:

4.1. .	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .
4.7. .	4.8. .	4.9. .

Задание 5.Найти пределы числовых последовательностей:

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5.	5.6. .
5.7. .	5.8.	5.9. .
5.10. .	5.11. .	5.12.
5.13. .	5.14. .	5.15. .
5.16.	5.17.	5.18.
5.19.	5.20.	5.21.

Тема4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

Предел функции в точке.

Определение 4.1. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  и не обязательно в ней самой. Число  называется пределом функции  в точке  (или при ), если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Символически это записывается так: .

Коротко определение предела функции в точке можно записать следующим образом:

.

Пример 4.1.Докажем, что .

Решение: Число 5 будет пределом функции при , если, по определению,для любого  найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . После подстановки функции это неравенство примет вид  или . Тогда если принять , то из неравенства  будет сразу же следовать неравенство . Это и доказывает, что .

Предел функции на бесконечности.

Определение 4.2.Число  называется пределом функции  при , стремящемся к бесконечности, если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Символически это записывается так: . Если , то пишут , если , то – .

Коротко определение предела функции на бесконечности можно записать следующим образом:

.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 4.3.Если предел , то функция  называется бесконечно малойпри . Если предел , то функция  называется бесконечно малойпри .

Пример 4.2.Примеры бесконечно малых функций:

а)  при ; б)  при ; в)  при .

Определение 4.4.Функция  называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Обозначают так: , причем если , то , если , то .

Коротко это определение можно записать так:

.

Определение 4.5.Функция  называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Обозначают так: .

Коротко это определение можно записать так:

.

Подобным образом определяются также пределы:

, , , .

Пример 4.3.Примеры бесконечно больших функций:

а)  при ; б)  при ; в)  при .

Односторонние пределы.

Определение 4.6.Число  называется левостороннимпределом функции  в точке , если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Символически это записывают так:  или коротко: .

Коротко определение левостороннего предела функции можно записать следующим образом:

.

Определение 4.7.Число  называется правостороннимпределом функции  в точке , если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Символически это записывают так:  или коротко: .

Коротко определение правостороннего предела функции можно записать следующим образом:

.

Справедливо утверждение: для существования  необходимо и достаточно, чтобы .