Основные теоремы о пределах функции.

1. Если  существует и конечен, то он единственный, и функция в окрестности точки  ограничена.

2. Для того чтобы функция  имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки  выполнялось равенство , где  – бесконечно малая функция при .

3. Если функции  и  имеют в точке  конечные пределы, то их сумма, разность, произведение и частное также будут иметь конечные пределы в точке :

,

,

.

Как следствие, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.

1. Сумма (разность) двух бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.

2. Произведение двух бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.

3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией.

4. Если функция является бесконечно малой, то функция является бесконечно большой. Верно и обратное утверждение.

5. Если  и , то выполняются соотношения:

– , символическая запись ;

–   и .

6. Если  и , то выполняются соотношения:

– ;

– .

7. Если  и , то выполняются соотношения:

– ;

– .

8. Если  и , то .

9. Если  и , то .

Аналогичные соотношения будут иметь место, если  либо .

Теоремы о предельном переходе.

Пусть функция  имеет конечный предел в точке . Тогда справедливы следующие равенства:

1. .

2. .

3.  ( ).

4. ( ).

Аналогичные равенства будут иметь место, если или .