Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности.

Определение 3.7.Числовая последовательность  называется бесконечно малой, если .

Пример 3.2.Примеры бесконечно малыхчисловых последовательностей:

а) ;      б) .

Определение 3.8.Числовая последовательность  называется бесконечно большой, если , то есть, другими словами, если для любого положительного числа  найдется такое натуральное число , что для всех  выполняется неравенство .

Пример 3.3.Примеры бесконечно большихчисловых последовательностей:

а) ;      б) .

Основные свойства предела числовой последовательности.

1. Если числовая последовательность имеет предел, то он единственный.

2. Если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена.

3. Если числовая последовательность является монотонной и ограниченной, то она имеет предел.

4. Постоянная числовая последовательность, члены которой равны , сходится к этому числу: . 

5. Пусть общие члены трехчисловых последовательностей ,  и  удовлетворяют условию , . Тогда если  и , то .

6. Для того чтобы числовая последовательность  имела предел , необходимо и достаточно, чтобы , где  – бесконечно малая последовательность ( ).

Операции над пределами числовых последовательностей.

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся числовых последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

.

2. Предел произведения двух сходящихся числовых последовательностей равен произведению их пределов:

.

В частности:

– постоянный множитель можно выносить за знак предела:

;

– предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

3. Предел частного двух сходящихся числовых последовательностей равен частному их пределов:

4. Предел корня -й степени от сходящейся числовой последовательности равен корню этой же степени от предела числовой последовательности: