Понятие числовой последовательности.

Определение 3.1. Под числовойпоследовательностью(или просто последовательностью) понимается функция

,

котораязадана на множестве натуральных чисел. Числовая последовательность обозначается в виде  либо следующим образом: , где . Число – это первый член (элемент) последовательности, число – второй член последовательности и т.д., число  – общий или -ый член последовательности.

Числовую последовательность обычно задают формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член по номеру . К примеру, выражения

,

задают соответственно числовые последовательности

Определение 3.2.Числовая последовательность  называется ограниченной, если существует такое число , что для всех  выполняется неравенство

.

Если данное условие не выполняется, то числовая последовательность называется неограниченной. Очевидно, что вышерассмотренные последовательности  и являются ограниченными, а  и –неограниченными.

Определение 3.3.Числовая последовательность  называется возрастающей (неубывающей), если для любого  выполняется неравенство ( ).

Определение 3.4.Числовая последовательность  называется убывающей (невозрастающей), если для любого  выполняется неравенство ( ).

Все подобного рода числовые последовательности называются монотоннымичисловыми последовательностями. Так, последовательности ,  и являются монотонными, а не является монотонной.

Определение 3.5.Числовая последовательность  называется постоянной, если все ее элементы равны одному и тому же числу . 

Предел числовой последовательности.

Определение 3.6.Число  называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа  найдется такое натуральное число , что для всех  выполняется неравенство

.

Числовая последовательность, пределом которой является конечное число , называется сходящейся. Символическиэто обозначают так: .

Рисунок 3.1. Числовая последовательность , сходящаяся к числу .

Неравенство равносильно неравенству , которое показывает, что все элементы  с номерами  находятся в -окрестности точки . Очевидно, что чем меньше , тем больше число , но так или иначе в -окрестности точки оказывается бесконечное число членов последовательности, а вне -окрестности может находиться лишь какое-то конечное число членов последовательности (см. рис. 3.1.). В этом состоит геометрический смысл предела числовой последовательности.

Коротко определение предела числовой последовательности можно записать следующим образом:

Числовая последовательность называется расходящейся, если она не имеет предела или он равен бесконечности.

Пример 3.1.Примеры сходящихся числовых последовательностей:

а) ;      б) .