Основные элементарные функции и их графики.

Определение 2.12.Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. Степенная функция – это функция вида , где .

Частные случаи:

– если , то получаем так называемые рациональные функции ;

– если  (где  – множество целых отрицательных чисел), то получаем так называемые дробно-рациональные функции ;

– если , т.е. ,то получаем радикал .

Примеры графиков степенных функций, которые соответствуют разным показателямстепени, представлены на рис. 2.2.

Рис. 2.2.Графики функций .

2. Показательная функция – это функция вида , где . Графики показательных функций представлены на рис. 2.3.

Рис. 2.3.Графики функций  и .

Частный случай: если , то получаем так называемую экспоненциальную функцию (или экспоненту) , где число

3. Логарифмическая функция – это функция вида , где . Графики логарифмических функций представлены на рис. 2.4.

Рис. 2.4.Графики функций  и .

Частные случаи:

– если , то получаем так называемый натуральный логарифм ;

– если , то получаем так называемый десятичный логарифм .

4. Тригонометрические функции – это функции . Графики тригонометрических функций представлены на рис. 2.5.

Рис. 2.5.Графики функций .

5. Обратные тригонометрические функции – это функции . Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6.Графики функций .

Определение 2.13.Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции суперпозиции функций, называются элементарными.

Пример 2.10.Примеры элементарных функций:

а) ;  б) .

Пример 2.11.Примеры неэлементарных функций:

а)        б)

Определение 2.14.Функция вида

,

где  – постоянные числа, называется многочленом. Число  называют степенью многочлена.

Определение 2.15.Функция вида

,

где  – многочлены, называется рациональной функцией.

Определение 2.16.Функции, построенные с помощью суперпозиции рациональных функций и степенных функций с рациональными показателями, называются иррациональными.

Пример 2.12.Примеры иррациональных функций:

а) ;  б) .

Неявная функция.

Формула  определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.

Определение 2.17.Пусть функция определена на множестве . Тогда, если каждое значение  и соответствующее ему значение функции  удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению , то говорят, что эта функция задана неявно уравнением . Сама функция в этом случае называется неявной функцией. 

Пример 2.13.Примеры неявных функций:

а) ; б) ; в) .

Определение 2.18.Графиком неявной функции, заданной уравнением , называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых удовлетворяют этому уравнению.