Задания для самостоятельной работы по теме «Множества».

Задание 1.Для множеств  и  найти объединение, пересечение и разность этих множеств:

1.1. , .	1.2. , .
1.3. , .	1.4. , .
1.5. , .	1.6. , .

Задание 2.Укажите следующие множества на числовой прямой.

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1.4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .

Тема2. ФУНКЦИЯ.

Понятие функции.

Определение 2.1.Постоянной величиной(или просто постоянной) называется величина, которая сохраняет одно и то же значение.

Обозначение постоянных Так, постоянной величиной явлется отношение длины окружности к ее диаметру, равное числу

Определение 2.2.Переменной величиной (или просто переменной) называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Обозначение переменных  Так, переменной величиной является давление воздуха с увеличением высоты над уровнем моря. 

Определение 2.3.Пусть даны два непустых числовых множества  и . Если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве  задана функция, обозначаемая . При этом множество  называется областью определения данной функции и обозначают , множество  – областьюзначений функциии обозначают . Независимую переменную называютаргументом, зависимую переменную  называютзначениемфункции.

Частное значение функции при обозначается как .         К примеру, если , то .

Определение 2.4.Графиком функции  называется множество всех точек с координатами  плоскости .

Рис. 2.1. График произвольной функции .

Способы задания функции.

Для того чтобы задать функцию , необходимо указать определенное правило, по которому для каждого значения можно найти соответствующее значение . Различают аналитический, табличный и графическийспособы задания функции.

Аналитический способ:в этом случаефункция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Пример 2.1.Примеры аналитически заданных функций:

а) ;         б)               в) .

Табличный способ: в этом случае функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных в ходе наблюдений или эксперимента.

Графический способ: задается график функции. Преимуществом графического способа является его наглядность, недостатком – его неточность.

Примеры 2.2.Найти область определения функций:

1) .

Решение: Функция  определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Решая неравенство, получаем, что , значит, .

2) .

Решение: Дробь  определена, если ее знаменатель не равен нулю. Поэтому область определения данной функции находится из условия , т.е.  и . Таким образом, .

3) .

Решение: Функция  определена при всех действительных значениях , поэтому функция  определена в точности при тех значениях, при которых имеет смысл выражение , т.е. при .

Далее, область определения второго слагаемого находим из двойного неравенства . Отсюда , т .е. .

Область определения функции  есть пересечение областей определения обоих слагаемых, откуда .

Примеры 2.3.Найти область значений функций:

1) .

Решение: Так как , а  для всех значений , то  для всех . Поскольку к тому же функция  принимает все значения от 0 до , то .

2) .

Решение: , поэтому область значений функции  совпадает с областью значений функции при . Тогда .

3) .

Решение: , откуда . Так как , то .