Основные характеристики функции.

Определение 2.5.Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого  выполняются условия  и ; нечетной, если для любого  выполняются условия  и .

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 2.4.Функции  и  –четные функции; и  –нечетные функции;  и  – функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

Определение 2.6.Пусть функция  определена на множестве  и , причем . Тогда если , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на множестве ; если , то функция называется убывающей на множестве ; если , то функция называется невозрастающей на множестве .

Определение 2.7.Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве  называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. 

Пример 2.5.Функция  – возрастающая функция при , а функция  убывает при  и возрастает при .

Определение 2.8. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех  выполняется неравенство . 

Пример 2.6.Функции  и  ограничены на всей числовой прямой, т.к.  и  для всех .

Определение 2.9.Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом  выполняются условия  и . При этом число называется периодом функции.

Пример 2.7.Функции  и  – периодические функции с периодом ;  и  – периодические функции с периодом .

Обратная функция.

Определение 2.10.Пусть задана функция  с областью определения  и областью значений . Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция  с областью определения  и областью значений . Такая функция  называется обратной к функции  и записывается в следующем виде:  или .

Про функции  и  говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение  относительно  (если это возможно).

Пример 2.8.Для функции  обратной функцией является функция , определенная на всей числовой прямой. Для функции , заданной на отрезке , обратной функцией является функция , определенная соответственно на отрезке . Заметим, что для функции , заданной на отрезке , обратной функции не существует, т.к. одному значению  соответствует два значения  (так, если , то ).

Сложная функция.

Определение 2.11.Пусть функция  определена на множестве , а функция  на множестве , причем для любого  соответствующее значение . Тогда на множестве  определена функция , которая называется сложной функцией от  (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Замечание 2.1. Переменную  называют промежуточным аргументом сложной функции. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Пример 2.9.Функция  является суперпозицией двух функций  и . Функция  является суперпозицией трех функций ,  и .