Множества и операции над ними.

Кочкин С.А,Рябченко С.В,Конечная Н.Н,Сафонова Т.А,Ковалева Г.Н.

Математический анализ. Часть 1:Учебное пособие. − Архангельск: КИРА, 2016. − с. 147.

ISBN

Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавровестественно-научных направлений, изучающих дисциплину «Математический анализ»или разделы математического анализа в рамках дисциплины «Математика». В пособии рассмотрены следующие разделы: функции одной переменной, теория пределов и непрерывность функции, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной.

В каждом разделе приведен необходимый теоретический материал идетально разобраны типовые задачи. В пособии также имеются задания для студентов, предназначенные для самостоятельной работы по освоению материала, в конце пособия приведены ответы на эти задания.

ISBN                                                             © Коллектив авторов, 2016

СОДЕРЖАНИЕ:

Тема 1. МНОЖЕСТВА.                                                                                                                        6

Множества и операции над ними……………………………………………………………………..6

Числовые множества…………………………………………………………………………………...7

Числовые промежутки………………………………………………………………………………….8

Окрестность точки………………………………………………………………………………………9

Задания для самостоятельной работы по теме «Множества»……………………………………….10

Тема 2. ФУНКЦИЯ.                                                                                                               11

Понятие функции………………………………………………………………………………...........11

Способы задания функции…………………………………………………………………………….12

Основные характеристики функции………………………………………………………………....14

Обратная функция………………………………………………………………………..……………15

Сложная функция……………………………………………………………………………………...16

Основные элементарные функции и их графики……………………………………………………17

Неявная функция……………………………………………………………………………………….22

Функция, заданная параметрически…………………………………………………………………..22

Задания для самостоятельной работы по теме «Функция»…………………………………………23

Тема 3. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.                                                                                               27                                     

Понятие числовой последовательности………………………………………………………………..27

Предел числовой последовательности…………………………………………………………………28

Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности………………………….29

Основные свойства предела числовой последовательности………………………………………….30

Операции над пределами числовых последовательностей………………………………………….30

Свойства бесконечно малых числовых последовательностей……………………………………..31

Задания для самостоятельной работы по теме «Числовая последовательность. Предел числовой

последовательности»…………………………………………………………………………………..35

Тема 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.                                                                                                          38

Предел функции в точке……………………………………………………………………………...38

Предел функции на бесконечности…………………………………………………………………..38

Бесконечно малые и бесконечно большие функции………………………………………………..39

Односторонние пределы………………………………………………………………………………40

Основные теоремы о пределах функции……………………………………………………………….41

Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях…………………………………..41

Теоремы о предельном переходе……………………………………………………………………..43

Некоторые приемы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов…………………..43

Задания для самостоятельной работы по теме «Предел функции»…………………………………48

Тема 5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.                                                                                      51

Первый замечательный предел………………………………………………………………………….51

Второй замечательный предел………………………………………………………………………....53

Задания для самостоятельной работы по теме «Замечательные пределы»…………………………56

Тема 6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ.                                     58

Классификация бесконечно малых функций………………………………………………………..58

Применение эквивалентных бесконечно малых функций…………………………………………58

Задания для самостоятельной работы по теме «Эквивалентные бесконечно малые функции». 60

Тема 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.                                                                          61

Понятие непрерывности функции…………………………………………………………………….61

Точки разрыва и их классификация………………………………………………………………….63

Основные теоремы о непрерывных функциях………………………………………………………67

Свойства функций, непрерывных на отрезке……………………………………………………….68

Задания для самостоятельной работы по теме «Непрерывность функции»………………………68

Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.                                                                               71

Понятие производной………………………………………………………………………………….71

Основные правила дифференцирования……………………………………………………………..72

Таблица производных…………………………………………………………………………………72

Производная сложной функции………………………………………………………………………73

Логарифмическое дифференцирование………………………………………………………………74

Производная неявной функции……………………………………………………………………….75

Производная функции, заданной параметрически……………………………………………….....76

Геометрический и физический смысл производной функции……………………………………..76

Задания для самостоятельной работы по теме «Производная функции»…………………………78

Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.                                                                            82

Понятие дифференциала………………………………………………………………………………82

Основные правила нахождения дифференциалов…………………………………………………..82

Задания для самостоятельной работы по теме «Дифференциал функции»……………………….83

Тема 10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХПОРЯДКОВ.               85                                  

Производные высших порядков………………………………………………………………………85

Дифференциалы высших порядков…………………………………………………………………..86

Задания для самостоятельной работы по теме «Производные и дифференциалы высших

порядков»……………………………………………………………………………………………….87

Тема 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.                        89

Применение дифференциала к приближённым вычислениям…………………………………….89

Теоремы о среднем дифференциального исчисления………………………………………………89

Формула Тейлора……………………………………………………………………………………….90

Правило Лопиталя……………………………………………………………………………………..91

Задания для самостоятельной работы по теме «Приложения дифференциального исчисления». 94

Тема 12. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ.                            96

Возрастание и убывание функции………………………………………………………………………96

Экстремумы функции…………………………………………………………………………………....97

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба………………………………………..98

Асимптоты графика функции………………………………………………………………………..100

Общая схема исследования функции и построение ее графика…………………………………….101

Задания для самостоятельной работы по теме «Исследование функций и построение графиков»105

Тема 13. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.           107

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла………………………………..107

Основные свойства неопределенного интеграла…………………………………………………..107

Таблица интегралов…………………………………………………………………………………..108

Метод непосредственного интегрирования…………………………………………………………109

Задания для самостоятельной работы по теме «Основные методы интегрирования»…………110

Тема 14. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ.                                      112

Замена переменной и подведение под знак дифференциала……………………………………..112

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование способом подстановки»…….114

Тема 15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.                                                                 115

Формула интегрирования по частям………………………………………………………………..115

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование по частям»……………………118

Тема 16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

Различные приемы интегрирования квадратных трехчленов…………………………………….119

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование функций, содержащих

квадратный трехчлен»………………………………………………………………………………..121

Тема 17. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.                                      122

Интегрирование простейших дробей………………………………………………………………..122

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших рациональных дробей…123

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование рациональных дробей»……..129

Тема 18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.                    130

Различные приемы интегрирования тригонометрических функций……………………………..130

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование тригонометрических функций»134

Тема 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.                             135

Различные приемы интегрирования иррациональных функций………………………………….135

Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование иррациональных дробей»….138

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.                              139

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.                                                                             146

                                     Тема1. МНОЖЕСТВА.

Множества и операции над ними.

Определение 1.1.Под множеством понимается совокупность объектов, которые объединены по какому-то признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, о множестве букв алфавита, о множестве корней квадратного уравнения, о множестве натуральных чисел и т.д. Под элементами множества понимают объекты, из которых состоит это множество. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы – малыми буквами

Элемент , принадлежащий множеству , записывается следующим образом . В противном случае для указания, что элемент  не принадлежит множеству , используется запись .

Определение 1.2. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается символом . 

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества. Так, запись  означает, что множество  состоит из трех чисел 1, 4 и 9; запись  означает, что множество  состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множества подразделяются на конечные и бесконечныемножества. Множество, число элементов которого конечно, называется конечным. В противном случае множествоназывается бесконечным.

Определение 1.3.Множество  называется подмножеством множества , если каждый элемент множества  является элементом множества . Символически это обозначают так:  («множество включено во множество »).

Определение 1.4. Множества  и равны, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначается .

Над множествами возможны следующие основные операции.

Определение 1.5.Объединением (или суммой) множеств  и  называется множествовсех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  или . Обозначается .

Пример 1.1. Если  и , то .

Определение 1.6.Пересечением (или произведением) множеств  и  называется множествовсех элементов, принадлежащих каждому из множеств  и . Обозначается .

Пример 1.2. Если  и , то .

Определение 1.7.Разностью множеств  и  называется множество всех элементов, принадлежащих множеству  и не принадлежащих множеству . Обозначается .

Пример 1.3. Если  и , то , а .

Числовые множества.

Определение 1.8. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

 – множество натуральных чисел;

 – множество целых чисел;

 – множество рациональных чисел;

 – множество иррациональных чисел;

 – множество действительных чисел;

 – множество комплексных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество  состоит из рациональных и иррациональных чисел. Любое рациональное число может быть выражено либо конечной десятичной дробью , либо бесконечной периодической дробью .

Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,  и  – иррациональные числа.

Все действительные числа геометрически можно изобразитьточками так называемойчисловой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, у которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Рис. 1.1. Числовая прямая с отмеченным полуинтервалом .

Между множеством действительных чисел  и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и, наоборот, каждой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.

Числовые промежутки.

Различают следующие подмножества множества действительных чисел, определяющие тот или иной числовой промежуток:

1. Если , то говорят, что  принадлежит отрезку или сегменту  (пишут ).

2. Если , то  принадлежит интервалу  ( ).

3. Если , то , если , то , и говорят, что  принадлежит полуинтервалу.

4. Если , то , если , то , и говорят, что  принадлежит бесконечному полуинтервалу.

5. Если , то , если , то , и говорят, что  принадлежит бесконечному интервалу.

6. Если , то  и говорят, что  принадлежит множеству действительных чисел или принадлежит всей числовой прямой.

Здесь числа  и  называются соответственно левым и правым концами указанных промежутков. Символы  и  не являются числами, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой прямой от начала 0 влево и вправо.

Определение 1.9.Абсолютной величиной (или модулем)действительного числа  называется само число , если  неотрицательно, и противоположное число , если  отрицательно:

Очевидно, что . Запись  геометрически означает расстояние между точками  и  на числовой прямой.

Окрестность точки.

Определение 1.10.Окрестностью точки  называется любой интервал , содержащий точку .

Определение 1.11. -окрестностьюточки  называется интервал . При этом число  называют центром, а число называютрадиусом -окрестности.

Рис. 1.2. ( -окрестность).

Если , то выполняется неравенство , или, что то же самое, . Последнее неравенство в свою очередь означает, что точка попадает в -окрестностьточки .