Уравнения прямой в пространстве

В самом общем случае прямая в пространстве может быть определена совместным заданием общих уравнений двух пересекающихся плоскостей:

Однако существуют и другие способы задания прямых в пространстве, или другие виды уравнения прямой, к выводу которых мы и переходим.

Пусть заданы: некоторая прямая L и ненулевой вектор , лежащий на данной прямой, или на параллельной ей прямой. Вектор  будем назы­вать направляющим вектором данной прямой L (рис. 4.2).

Рис 4.2.

Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку  и имеющей данный нап­равляющий вектор: . Пусть  произвольная точка пространства. Эта точка будет принадлежать прямой L тогда и только тогда, когда векторы  и  будут колли­неарны, т.е., когда их координаты будут пропорциональны:

Полученные уравнения принято называть каноническими уравне­ниями прямой в пространстве.

В частности, канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки  и  будут иметь вид:

 

 

Если теперь обозначить через t любое из равных отношений канонических уравнений:

                         

,

 

то получим систему равенств:

 

 

Эти равенства называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку  и имеющей направляющий вектор . Заметим, что в этих уравнениях t – произвольно изменяю­щийся параметр.

 

 

Рекомендуемая литература по теме :[2 ÷ 3].

 

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 4:

1. Каким будет нормальный вектор плоскости с общим уравнением ? Запишите его координаты:

 

 

 

2. Будут ли параллельными плоскости  и ?

 

 

 

3. Будет ли вектор (1, 1, 1) коллинеарным (параллельным) прямой, заданной параметрическими уравнениями:

 

 

 

 

 

4. Какая точка прямой с параметрическими уравнениями:

 

    будет соответствовать значению параметра t = 5?

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В.Н. Основы линейной алгебры для экономистов и менеджеров: Учебное пособие. – М.: Издание ИМЭС, 2013.

2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Проспект, 2012.

3. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра: Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006.

 

⇐ Предыдущая567891011121314