Ранг матрицы и его отыскание

Ранг матрицы, наряду с определителем квадратной матрицы, является одной из ее важнейших характеристик.

Определение. Минором порядка k матрицы А называется определитель квадратной матрицы k-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием каких-либо ее строк и столбцов.

Например, из прямоугольной матрицы размера 3 х 4, вычеркивая строки и столбцы, можно получить миноры третьего, второго и первого порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из сформулированного определения вытекает простейший алгоритм отыскания ранга матрицы. Для этого нужно образовать все без исключения миноры максимально возможного порядка и проверить (путем последовательного вычисления) их на отличие от нуля. Если хотя бы один из этих миноров отличен от нуля, то вычисления прекращают и заключают, что ранг данной матрицы равен порядку этого минора. Если же все такие миноры равны нулю, то образовывают миноры порядка на единицу меньшего, чем предыдущие, и проверяют их на отличие от нуля и т.д.

В общем случае, когда матрица имеет достаточно большие размеры, отыскание ее ранга описанным способом представляет собой достаточно трудоемкий и сложный (в смысле объема вычислений) процесс.

 Для существенного облегчения отыскания ранга матрицы широко используются элементарные преобразо­вания строк матрицы:

1. Отбрасывание нулевой строки.

2. Умножение всех элементов строки на любое число, отличное от нуля.

3. Перестановка строк или столбцов матрицы.

4. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число.

Матрица, полученная из данной матрицы элементарными преобразова­ния­ми строк, называется эквивалентной данной матрице и обладает важным свойством: она имеет тот же ранг, что и данная матрица.

Кроме того, при отыскании ранга матрицы особую роль играют матрицы специального вида – ступенчатые матрицы. Примерами таких матриц являются матрицы:

Любая ступенчатая матрица не содержит нулевых строк, а все ее ступеньки имеют в высоту одну строку, т.е. число ступенек равно числу строк такой матрицы.

Шириной ступеньки называется число элементов строки, стоящих на этой ступеньке. Например, в матрице А ширина первой (верхней) ступеньки равна 2, второй ступеньки – 1, а третьей (нижней) ступеньки – 2 элемента.

Для отыскания ранга матрицы с помощью элементарных преобразований строк переводят исходную матрицу в эквивалентную ей ступенчатую матрицу, ранг которой (равный рангу исходной матрицы!) определяется количеством ступенек (строк) в ней. Такой перевод обычно осуществляют с помощью алгоритма Гаусса.