Алгоритм Гаусса (пошаговый)

Шаг 1. Если элемент а₁₁ исходной матрицы равен нулю, т.е.  а₁₁= 0, то перестановкой строк или столбцов матрицы добиваются того, чтобы элемент а₁₁ полученной матрицы был отличен от нуля.

Шаг 2. Сложением первой строки (в ней а₁₁ ≠ 0), умноженной на под­ходящие (различные для различных строк) множители, с другими строками до­биваются того, чтобы все элементы первого столбца матрицы, стоящие ниже элемента а₁₁ ≠ 0, т.е. элементы а₂₁, а₃₁, … были бы равны нулю.

Шаг 3. Теперь, либо уже получена ступенчатая матрица, либо в строках со второй по m-ую имеется по крайней мере один ненулевой элемент, который при помощи перестановки строк или столбцов (кроме первой строки и первого столбца) может быть поставлен на второе по порядку место в главной диагона­ли, т.е. на место элемента а₂₂. После этого снова выполняют операции, аналогичные шагу 2, но сложе­ние осуществляют уже со второй строкой, и в результате получают, что все эле­менты второго столбца, стоящие ниже элемента а₂₂  равны нулю и т.д. и т.д.

Аналогичные перечисленным операции применяются и к последующим строкам матрицы, а сам процесс продолжают до тех пор, пока не получат иско­мую, ступенчатую матрицу. Если в процессе выполнения таких операций на каком-то шаге получается нулевая строка, то ее вычеркивают.

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы

Решение. Убедившись, что для данной матрицы элемент     а₁₁ = 1 ≠ 0, сразу переходим к шагу 2. Умножив первую строку матрицы на число (- 2), сло­жив ее со второй строкой и записав результат во вторую строку, а также сложив первую строку матрицы с третьей строкой и записав результат в третью строку, получим матрицу вида:

Убедившись, что в полученной после 2 шага матрице элемент  а₂₂ = 7 ≠ 0, переходим к реализации шага 3, для чего умножим вторую строку этой матрицы на число 1/7 и сложим ее с третьей строкой, в результате полу­чим:

У полученной ступенчатой матрицы третья, нулевая строка может быть вычеркнута без изменения ранга этой матрицы. Оставшаяся матрица имеет раз­мер 2 ´ 4 и также является ступенчатой. Очевидно, что полученная ступенчатая матрица имеет две ступеньки (две строки), а, следовательно, ранг ее равен 2 и, следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Рекомендуемая литература по теме 1:[1 – 3].

ТЕСТ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ