Системы линейных однородных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если в каждом из уравнений системы сво­бодный член равен нулю. Она в общем случае имеет вид:

Очевидно, что такая система уравнений всегда совместна, поскольку она всегда имеет, по крайней мере, одно нулевое (тривиальное) решение.

Если в системе m = n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет единственное нулевое решение, что следует из формул Крамера. Следовательно, ненулевые решения возможны лишь для таких систем однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа неизвестных, или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Ненулевые решения системы однородных уравнений находятся путем ее решения методом Гаусса. При этом в силу однородности системы таких решений будет бесконечно много, и каждое из них будет выражаться через одну произвольную постоянную.

ПРИМЕР:Найдите ненулевые решения системы однородных уравнений:

Следуя алгоритму метода Гаусса, составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений вида:

Полагая х₃ = С, где С – произвольное действительное число, из третьего уравнения найдем: х₄ = 2С и, далее, х₂ = 35С и х₁ = 23С.

Рекомендуемая литература по Теме 2:[1 ÷ 3].

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ по ТЕМЕ 2

1. Система линейных уравнений называется определенной, если она:

· имеет хотя бы одно решение                                     

· имеет единственное решение                                   

· имеет бесконечное множество решений        

2. Для системы линейных уравнений с равным числом уравнений и неизвестных по формулам Крамера можно найти:

· множество решений системы                                

· только единственное решение системы             

· только нулевое решение системы                        

3. Для решения систем линейных уравнений с m уравнениями и n неизвестными метод Гаусса применим:

· только, когда m = n                                                  

· только, когда m < n                                                  

· при любом соотношении между m и n                      

4. Равенство рангов матрицы системы уравнений и расширенной матрицы этой системы является достаточным признаком:

· несовместности системы уравнений                         

· совместности системы уравнений                        

· определенности системы уравнений                         

5. Система линейных уравнений называется системой однородных уравнений, если:

· в каждом уравнении системы свободный член равен нулю

· хотя бы в одном уравнении системы свободный член

равен нулю                                                                                    

· только в одном уравнении системы свободный член

равен нулю                                                                              

6. Верно ли утверждение, что любая система линейных, однородных уравнений всегда совместна?

· Нет.                                                                             

· Да, т.к. она всегда имеет нулевое решение             

· Да, т.к. она всегда имеет ненулевые решения      

ТЕМА 3. Элементы линейной алгебры