Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
По Теме 1. Матрицы и определители
1. Для умножения матрицы любого размера на число достаточно: · умножить на это число элементы любой строки этой матрицы · умножить на это число элементы любого столбца этой матрицы · умножить на это число все без исключения элементы этой матрицы 2. Для какой из приведенных пар матриц определена операция умножения? · · ·
3. Минором Mij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется: · любой определитель (n-1)-го порядка, полученный из этой матрицы · любой определитель второго порядка, полученный из этой матрицы · определитель, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца этой матрицы 4. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы A называется: · минор этого элемента, взятый со знаком (- 1)i+j · минор элемента aij · любой определитель (n–1)-го порядка матрицы A 5. Вырожденной называется квадратная матрица, определитель которой: · не равен нулю · равен нулю · равен единице 6. Для существования обратной матрицы для матрицы A необходимо и достаточно, чтобы матрица A была: · невырожденной · вырожденной · единичной 7. Какая из перечисленных ниже операций приводит к изменению ранга матрицы? · перестановка строк (столбцов) матрицы · транспонирование матриц · вычеркивание любой строки (столбца) матрицы
ТЕМА 2. Системы линейных уравнений
Основные понятия и определения В самом общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:
где и при всех и есть произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы. Решением системы уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которой в каждое из уравнений системы последнее обращается в числовое тождество.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,если она решений не имеет.
В свою очередь, совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две системы уравнений называются равносильнымиили эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Всякая система уравнений, состоящая из m уравнений с n неизвестными, всегда может быть записана в матричной форме: , где A – матрица коэффициентов при неизвестных, в общем случае прямоугольная размером m ´ n, X – матрица-столбец неизвестных размера n ´ 1, B – матрица-столбец свободных членов размера m ´ 1.
Решение систем линейных уравнений Метод обратной матрицы Если в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и матрица системы А является невырожденной, т.е. |А| ≠ 0, то для матрицы системы существует обратная матрица А-1. Запишем такую систему в матричном виде: AX = B. Умножая слева обе части этого матричного равенства на матрицу А-1, получим: A-1(AX) = A-1B. Так как (A-1A)X = EX = X, то решением системы будет матрица-столбец:
ПРИМЕР: Для системы уравнений: определитель матрицы системы |А| = 5 ≠ 0 (убедитесь в этом сами). Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует и имеет вид: Поэтому решением данной системы будет матрица-столбец:
Правило Крамера Предположим, что матрица системы А является квадратной, а ее определитель Δ0 = |А| ≠ 0. Тогда единственное решение системы может быть найдено по формулам Крамера: где Δj – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j –го столбца на столбец свободных членов.
ПРИМЕР: Решим с использованием формул Крамера систему примера в подразделе 2.2.1. Здесь Δ0 = |А| = 5,
И по формулам Крамера получим:
Метод Гаусса
Методы, рассмотренные в предыдущих подразделах, применимы только когда число уравнений равно числу неизвестных. Однако существует универсальный метод решения таких систем, применимый при любом соотношении между числом уравнений и числом неизвестных – метод Гаусса. Для любой системы линейных уравнений можно составить расширенную матрицу системы, которая отличается от матрицы системы тем, что справа добавляется еще один столбец – столбец свободных членов, который для удобства принято отделять вертикальной чертой. В общем случае расширенная матрица системы имеет вид:
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Система линейных уравнений, соответствующая этой матрице, будет эквивалентна исходной системе. Для системы уравнений, составленной по ступенчатой матрице, все решения могут быть найдены последовательно, начиная с последнего уравнения.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 252. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |