Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса
1. Составляем расширенную матрицу системы. 2. С помощью элементарных преобразований строк приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. 3. Если последняя ступенька полученной матрицы имеет только один шаг в ширину, система несовместна. Если же последняя ступенька имеет не менее двух шагов в ширину, то система совместна. 4. Если число ступенек равно числу неизвестных и последняя ступенька имеет два шага в ширину, то система имеет единственное решение, которое находится последовательно, начиная с последнего уравнения. 5. Если последняя ступенька имеет более двух шагов в ширину, или хотя бы одна из остальных ступенек имеет более одного шага в ширину, то совместная система имеет бесконечное множество решений.
ПРИМЕРЫ: 1. Решите методом Гаусса систему примера подраздела 2.2.1. Следуя алгоритму, запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:
Число ступенек в полученной матрице равно числу неизвестных и равно 3, а последняя (нижняя) ступенька имеет два шага в ширину. Следовательно (п. 4 алгоритма), данная система имеет единственное решение. Составим эквивалентную систему: Решая полученную систему от последнего уравнения к первому, последовательно найдем: х3 = 1, х2 = 2, х1 = 4.
2. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений: Следуя алгоритму, запишем: В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет 3 шага в ширину. Поэтому (п. 5 алгоритма), можно заключить, что данная система имеет бесконечное множество решений. Полученной ступенчатой матрице соответствует система: Для отыскания общего вида решений этой системы положим х3 = С, где С – любое действительное число, и подставив это значение в уравнения системы, последовательно найдем: х2 = 1 – 2С и х1 = 1 + С.
3. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений: Следуя алгоритму, запишем: В полученной ступенчатой матрице последняя (нижняя) ступенька имеет один шаг в ширину. Следовательно (п. 3 алгоритма), данная система несовместна.
Совместность любой системы линейных уравнений можно проверять с помощью следующего критерия.
Теорема Кронекера – Капелли
ПРИМЕР: Проверьте совместность системы линейных уравнений: Для сравнения рангов матриц составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: Рассматривая полученную ступенчатую матрицу, имеющую только две ступеньки, можно сделать вывод, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен 2. Согласно критерию, данная система уравнений – совместна.
|
|||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 358. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |