Закон инерции квадратичных форм

ПРИМЕР: Квадратичная форма:

двумя различными способами приведена к следующим каноническим видам:

Сравнение этих канонических видов одной и той же квадратичной формы показывает, что в обоих видах число положительных слагаемых равно 2, а отрицательных – 1.

Квадратичная форма L называется положительно (отрица­тельно) определенной, если при любых значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство   L > 0 (L < 0).

Существуют различные критерии для установления знаковой определенности квадратичных форм. Приведем два из них как наиболее употребительные.

Критерий Сильвестра

В критерии Сильвестра под главными минорами матрицы понимают миноры i – го порядка, построенные следующим образом:

ПРИМЕР: Покажите положительную определенность квадратич­ной формы: .

Найдем вначале матрицу этой формы. Поскольку эту форму можно переписать в виде: , искомая матрица имеет вид:

Характеристическое уравнение для этой матрицы будет иметь вид:

, или: .

Решая его, найдем: , следовательно, на основа­нии первого критерия можно заключить, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Теперь найдем главные миноры матрицы А:

.

Поскольку оба полученных минора положительны, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Рекомендуемая литература по Теме 3:[1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самопроверке знаний по теме 3:

1. При каком значении с векторы  и  будут перпендикулярны?

2. Сколько векторов будет содержать базис пространства ?

3. Можно ли образовать ортонормированный базис из двух векторов: ?

4. В какие векторы преобразует векторы (1, 0) и (0, 1) линейный оператор, заданный матрицей  ?

5. Является ли число 1 собственным значением матрицы  ?

6. Будет ли положительно определенной квадратичная форма ?

Тема 4. Элементы аналитической геометрии в пространстве

После выбора системы координат Oxyz в трехмерном евклидо­вом пространстве точки и векторы этого пространства становятся тройками чисел: A(x, y, z), . После такой замены геомет­ри­чес­кие свойства фигур можно изучать методами алгебры и анализа, т.е. методами аналитической геометрии. Ниже рассмотрены только простейшие фигуры и их основные свойства.

Уравнения плоскости

Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz; произ­вольная плоскость p; точка , лежащая на плоскости p; а также вектор , перпендикулярный плоскости p        (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Рассмотрим на плоскости p произвольную точку . Очевидно, что эта точка будет лежать на плоскости p тогда и только тогда, когда векторы  и  будут взаимно перпендикулярны (ортогональны), т.е. когда их скалярное произведение будет равно нулю. Поскольку:

 и ,

это условие можно записать в виде:

Это уравнение и есть уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору .

Если в последнем уравнении раскрыть скобки и ввести обозначение: , то получим общее уравнение плоскости:

При этом вектор , пер­пендикулярный плоскости p, называется нормальным вектором (или вектором нормали) этой плоскости.

Очевидно, что угол j между плоскостями, заданными общими уравнениями:

 и

будет определяться углом j между нормальными векторами:  и  этих плоскостей, а косинус этого угла может быть найден по формуле:

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей эквивалентно условию коллинеарности нормальных векторов этих плоскостей, т.е. может быть записано в виде:

В свою очередь, условие перпендикулярности плоскостей вытекает из условия перпендикулярности нормальных векторов, т.е. из равенства нулю их скалярного произведения, и может быть записано в виде: