Краткие теоретические сведения

Типовые шумовые процессы, имеющие место в канале связи, как правило, описываются моделью «белого шума».

Под «белым шумом» принято понимать случайный процесс, имеющий следующие характеристики:

· нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и бесконечной дисперсией;

· равномерную во всем диапазоне частот спектральную плотностью средней мощности;

· -коррелированные отсчеты (отсчеты, взятые в различные моменты времени, статистически независимы).

Термин «белый шум» является аналогом понятия «белого цвета» в оптике, представляющего собой совокупность электромагнитных колебаний со всевозможными частотами.

Такой модели в подавляющем большинстве случаев удовлетворяют собственные шумы радиоаппаратуры (тепловой шум резисторов и дробовой шум полупроводниковых приборов), а также атмосферные шумы (тепловое излучение Земли и ее атмосферы, космические шумы других планет, звезд и межзвездного пространства).

Причиной теплового шума является тепловое (хаотическое) движение носителей заряда в проводниках и проводящих электрорадиоэлементах (обладающих активным сопротивлением[1]), в результате которого на концах проводника возникает флуктуирующая разность потенциалов. Закономерности этого вида шума были впервые установлены экспериментально в 1928 году Джоном Б. Джонсоном и объяснены в работе шведского ученого Гарри Найквиста «Тепловое движение электрических зарядов в проводниках».

Мощность теплового шума не зависит ни от приложенного напряжения, ни от величины силы тока, ни от конкретного значения частоты приложенного напряжения, а зависит только от температуры и ширины полосы частот, в которой происходит ее измерение. Средний квадрат напряжения теплового шума может быть определен в соответствии с формулой Найквиста:

,                                      (3.1)

где  – постоянная Больцмана,  – температура проводника,  – активное сопротивление проводника,  – ширина полосы частот, в которой проводятся измерения.

Спектральная плотность средней мощности теплового шума может считаться равномерной и равной:

                             (3.2)

вплоть до частот порядка

,                                          (3.3)

где  – постоянная Планка. При комнатной температуре  эта частота составляет порядка  Гц.

Тепловой шум определяет нижнюю границу шумов любого детектора, источника сигнала или усилителя. От него невозможно полностью избавиться, но его можно уменьшить, понизив температуру, уменьшив активное сопротивление источника теплового шума и сузив полосу пропускания регистрирующего сигнал устройства.

Флуктуации шумового напряжения на концах проводника, вызванные тепловым движением отдельных электронов, представляют собой последовательность независимых случайных событий, имеющих одинаковый закон распределения (в силу одинаковой природы их возникновения). При достаточно большом числе таких событий распределение их суммы стремиться к нормальному закону распределения.

Дробовой шум представляет собой флуктуации напряжений и токов относительно их среднего значения, являющиеся следствием дискретности носителей электрического заряда. Перемещение каждого такого носителя сопровождается импульсом электрического тока в цепи. В отличие от теплового шума дробовой шум не зависит от температуры.

Термин «дробовой шум» возник в связи с тем, что благодаря ему в громкоговорителе, подключённом к выходу усилителя или радиоприёмника, появляется акустический шум, воспринимаемый ухом как напоминающий шум сыплющихся дробинок. Он также проявляется в виде «снега» на экране телевизора, а также помех так называемой «травки» на радиолокационном индикаторе и т. п.

Спектральная плотность средней мощности дробового шума определяется формулой Шоттки:

,                              (3.4)

где  – элементарный заряд, а  – среднее значение тока в электрической цепи.

Поскольку переход отдельных носителей через область пространственного заряда в p-n-переходе или через барьер Шоттки представляет собой совокупность независимых случайных событий, то дробовой шум также как и тепловой характеризуется нормальным законом распределения.

Ввиду неизменности спектральной плотности средней мощности теплового и дробового шумов в широком (теоретически бесконечном) частотном диапазоне такие шумы называют широкополосными. В процессе прохождения через избирательные электрические цепи приемных устройств диапазон частот, занимаемый энергетическим спектром случайного процесса (СП), ограничивается и при хорошей избирательности ширина спектра становится много меньше центральной частоты спектра:

.                          (3.5)

Образующийся на выходе избирательной цепи СП принято называть узкополосным.

Комплексный коэффициент передачи узкополосных цепей, как правило, представляют в виде одной из двух моделей:

- идеальный фильтр

            (3.6)

- гауссовский фильтр

, (3.7)

где первый экспоненциальный множитель описывает форму амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) полосового фильтра (множитель  обеспечивает заданную неравномерность АЧХ в пределах полосы пропускания), а второй экспоненциальный множитель (как и в выражении (3.6)), описывает линейную ФЧХ фильтра и обеспечивает сдвиг фаз  на границах полосы пропускания фильтра по сравнению с нулевым значением для центральной частоты полосы пропускания.

В соответствии со спектральным методом спектральная плотность средней мощности узкополосного случайного процесса на выходе избирательной цепи с комплексным коэффициентом передачи  при действии на входе белого шума будет иметь вид:

                                        (3.8)

и для рассмотренных выше аппроксимаций  она примет вид:

- для узкополосного СП на выходе идеального полосового фильтра

              (3.9)

- для узкополосного СП на выходе гауссовского полосового фильтра

.            (3.10)

Центральная частота энергетического спектра узкополосного СП может быть оценена в соответствии с выражением:

                     (3.11)

и совпадает с использованным в выражениях (3.9) и (3.10) обозначением для центральной частоты полосы пропускания полосового фильтра.

При определении ширины энергетического спектра используют два подхода:

- эффективная ширина спектра (энергетический подход)

,                     (3.12)

- среднеквадратическая ширина спектра (статистический подход)

.             (3.13)

Подстановка (3.9) и (3.10) в выражения (3.12) и (3.13) дает следующие значения ширины спектра:

- для узкополосного СП на выходе идеального полосового фильтра

, ;                       (3.14)

- для узкополосного СП на выходе гауссовского полосового фильтра

, .            (3.15)

С учетом явления нормализации СП при прохождении через узкополосную цепь, рассмотренного в предыдущей лабораторной работе, узкополосный СП будет характеризоваться нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Известно, что корреляционная функция СП связана со спектральной плотностью средней мощности преобразованиями Винера-Хинчина:

, (3.16а)

.             (3.16б)

Подстановка (3.9) и (3.10) в выражение (3.16а) приводит к следующему виду корреляционной функции узкополосного СП на выходе полосового фильтра с идеальной и гауссовой формой АЧХ:

- для узкополосного СП на выходе идеального полосового фильтра

,     (3.17)

- для узкополосного СП на выходе гауссовского полосового фильтра

. (3.18)

Вид данных корреляционных функций приведен на рисунке 3.1.

Рис. 3.1 – Вид корреляционных функций узкополосных СП на выходе полосового фильтра:

а) с идеальной формой АЧХ; б) с гауссовой формой АЧХ

На приведенном рисунке сплошной линией изображен периодический множитель , а пунктиром показана медленно меняющаяся огибающая корреляционной функции.

Дисперсия таких узкополосных процессов будет равна:

.                              (3.19)

На рисунке 3.2 приведена возможная реализация узкополосного СП.

Рис. 3.2 – Реализация узкополосного СП

Вид временной диаграммы, приведенной на рисунке 3.2, говорит о том, что такой случайный сигнал подобен амплитудно-модулированному радиосигналу и может быть записан в виде:

,                      (3.20)

где  и  – случайные функции, медленно меняющиеся со временем по сравнению с частотой . Функция  носит название огибающей узкополосного СП, а  – начальной фазы узкополосного СП. На рисунке 3.2 огибающая изображена пунктиром, а  – сплошной линией.

Путем простых тригонометрических преобразований выражение (3.20) может быть переписано в виде:

,           (3.21)

где  и носят название квадратурных составляющих узкополосного СП.

Низкочастотные квадратуры  и  могут быть выражены через узкополосный СП  и сопряженный ему по Гильберту :

.           (3.22)

Тогда:

,             (3.23а)

.           (3.23б)

Поскольку преобразование Гильберта является линейным, то сопряженный сигнал  является нормальным СП с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Кроме того СП  и  являются некоррелированными в один и тот же момент времени, а, следовательно, они независимы.

Выражения (3.23а) и (3.23б) также описывают линейные преобразования от пары СП  и  к паре СП  и , а, значит, и квадратуры  и  являются нормальными СП с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями . Кроме того, СП  и  являются независимыми.

Тогда в соответствии с теоремой о перемножении плотностей распределения вероятности независимых СП двумерная плотность распределения вероятности квадратур будет равна:

.   (3.24)

Для определения статистических свойств огибающей  и начальной фазы  узкополосного СП необходимо вычислить якобиан преобразования от переменных  к переменным :

. (3.25)

Тогда в соответствии с правилом преобразования плотности распределения вероятности СП:

.   (3.26)

Одномерные плотности распределения вероятностей огибающей  и начальной фазы  получаются интегрированием выражения (3.26) по лишним переменным:

, (3.27а)

.           (3.27б)

В соответствии с выражение (3.27а) огибающая узкополосного СП характеризуется распределением Рэлея с математическим ожиданием и дисперсией:

, . (3.28)

В соответствии с выражение (3.27б) начальная фаза узкополосного СП характеризуется равномерным распределением с нулевым математическим ожиданием и дисперсией:

, .         (3.29)

Лабораторное задание