Краткие теоретические сведения

Рассмотренные в предыдущей лабораторной работе методы генерации псевдослучайных последовательностей позволяют сформировать массивы отсчетов СВ с равномерным законом распределения. Однако при решении большинства практических задач требуется случайная (шумовая) составляющая с нормальным законом распределения. Основу всех методов преобразования равномерного закона распределения в любой другой закон составляет метод обратного преобразования функции распределения.

Применение данного метода основано на нахождении функции, обратной по отношению к функции необходимого распределения. Если в качестве аргумента такой функции использовать равномерно распределенную на отрезке  случайную величину, то получится СВ с требуемым законом распределения.

Поскольку функция распределения для гауссовой СВ не описывается в элементарных функциях, то найти для нее обратную функцию невозможно. Поэтому по отношению к данной задаче метод обратного преобразования функции распределения был модифицирован в трудах британского статистика Джорджа Бокса и Мервина Мюллера, опубликовавших работу в 1958 г.

Авторами было замечено, что распределение суммы квадратов двух независимых нормально распределенных СВ подчиняется экспоненциальному закону и является частным случаем
-распределения (или распределения Пирсона). С другой стороны такая сумма квадратов имеет простую геометрическую трактовку – это квадрат длины радиус-вектора, соединяющего начало системы координат с точкой на плоскости, причем декартовы координаты этой точки описываются значениями независимых СВ (рисунок 2.1).

Рис. 2.1 – Расположение точки со случайными координатами на декартовой плоскости

Таким образом, если координаты точки на декартовой плоскости будут распределены равномерно, то квадрат длины радиус-вектора, соединяющего точку с началом координат, будет распределен по экспоненциальному закону. Очевидно, что в любом направлении на декартовой плоскости найдется пара случайных величин , характеризующаяся одним и тем же значением квадрата длины радиус-вектора, а, значит, все значения угла  равновероятны и распределены по равномерному закону в интервале .

Но тогда является справедливым и обратное утверждение. Если квадрат длины радиус-вектора точки на плоскости распределен по экспоненциальному закону, а угол, под которым радиус-вектор расположен к оси абсцисс, распределен равномерно в интервале , то декартовы координаты точки распределены по нормальному закону. Этот факт и лежит в основе преобразования Бокса-Мюллера.

Для получения процедуры преобразования равномерно распределенной СВ в экспоненциально распределенную воспользуемся одним из выражений (1.36), определяющих необходимый вид плотности распределения вероятности:

.                   (2.1)

Тогда функция распределения будет иметь вид:

.                        (2.2)

Функция, обратная по отношению к  имеет вид:

.                  (2.3)

С учетом того, что распределение СВ  равномерное, а, значит, симметричное, обратную функцию можно заменить на:

.                                     (2.4)

Величина , определенная выражением (2.4) будет иметь экспоненциальное распределение и описывать квадрат длины радиус-вектора.

Угол, под которым радиус-вектор расположен к оси абсцисс, может быть сформирован из второй равномерно распределенной на интервале  СВ  умножением на :

.                                     (2.5)

Таким образом, декартовы координаты точки на плоскости равны:

            (2.6)

и иметь нормальный закон распределения.

Величина  в выражениях (2.6) определяет дисперсию нормально распределенных СВ  и . Совместная плотность распределения вероятности для них может быть найдена следующим образом:

.                         (2.7)

где  – якобиан преобразования.

Решив систему уравнений (2.6) относительно  и , нетрудно получить:

                           (2.8)

Тогда якобиан преобразования оказывается равным:

.  (2.9)

Учитывая, что  и  независимые равномерно распределенные в интервале  СВ, получаем:

.               (2.8)

Тогда одномерная плотность распределения вероятности :

. (2.9)

Аналогичную плотность распределения вероятности имеет СВ :

.                     (2.10)

Сравнивая (2.9) и (2.10) с выражением (1.25) приходим к выводу, что СВ  и  имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию . Выбирая , получаем нормированные нормально распределенные СВ, имеющие нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Таким образом, преобразование Бокса-Мюллера принимает вид:

                        (2.11)

Если требуется сформировать отсчеты СВ с другими числовыми характеристиками, то можно осуществить линейное преобразование вида:

и ,

где  и  – требуемые значения СКО и математического ожидания, соответственно.

Существует модификация преобразования Бокса-Мюллера, позволяющая избавиться от вычислений тригонометрических функций. Она получается, если выразить  и  через координаты  и длину радиус-вектора :

Тогда выражения (2.11) принимают вид:

                           (2.12)

Причем получаемые в результате значения будут вещественными, если:

                 (2.13)

Такое возможно, если точка с координатами  лежит внутри круга радиусом 1.

Таким образом для выполнения преобразования Бокса-Мюллера вида (2.12) необходимо выбирать пару значений , проверять, принадлежит ли она внутренности круга единичного радиуса, вычислять квадрат длины радиус-вектора (2.13) и проводить расчет новой пары отсчетов СВ в соответствии с (2.12).

Недостатком данной модификации преобразования Бокса-Мюллера является необходимость отбрасывания части пар значений , не удовлетворяющих условию (2.13), то есть использования лишь 78,5 % сгенерированных пар отсчетов СВ.

Лабораторное задание