Вопросы и задания для самооценки

1. Что называется первообразной от данной функции? Привести примеры.

2. Сформулировать теорему о первообразной. Указать общий вид первообразных от данной непрерывной функции.

3. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

4. Сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла. Привести примеры.

5. В чем состоят методы интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле? Привести примеры.

6. Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной.

7. Какие дроби называются простейшими?

8. Как производится разложение правильной рациональной дроби на простейшие?

9. В чем состоит метод интегрирования рациональной функции?

10. Привести примеры интегрирования простейших иррациональных функций.

11. Указать общий метод вычисления интеграла от функции, рациональной относительно тригонометрических функций. Универсальная подстановка.

12. Описать методы вычисления интегралов вида ∫sinⁿ х cos^m хdх,        где n и m – целые числа.

13. Когда говорят, что функция не интегрируется в элементарных функциях (в конечном виде)?

14. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

15. Что называется определенным интегралом от функции на заданном интервале?

16. В чем состоит теорема существования определенного интеграла?

17. Сформулировать и доказать простейшие свойства определенного интеграла.

18. В чем состоят свойства аддитивности и сохранения знака определенного интеграла?

19. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

20. Сформулировать и геометрически иллюстрировать теорему об оценке интеграла.

21. Сформулировать и геометрически иллюстрировать теорему о среднем в интегральном исчислении.

22. Что такое среднее арифметическое значение функции у = f(х) на интервале [а, b]?

23. Сформулировать теорему Ньютона-Лейбница.

24. В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном интеграле?

25. В чем состоит метод замены переменной (подстановки) в определенном интеграле?

26. Что называется несобственным интегралом первого рода? Дать геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

27. Какой несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся и какой условно сходящимся?

28. Что называется несобственным интегралом второго рода? Дать геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

29. Понятие двойного интеграла.

30. Вычисление двойного интеграла.

31. Дифференциальные уравнения. Определение. Примеры.

32. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

33. Общее и частное решения дифференциального уравнения.

34. Сформулировать задачу Коши для дифференциального уравнения I-го порядка.

35. Основные классы дифференциальных уравнений I-го порядка, интегрируемых в квадратурах.

36. Уравнения с разделяющимися переменными. Пример.

37. Однородное уравнение I-го порядка. Пример.

38. Линейные уравнения I-го порядка. Пример.

39. Уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f(х) и его решение. Пример.

40. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема существования и единственности решения этого уравнения.

41. Сформулировать задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.

42. Уравнение вида F(х, у^', у^'')=0 и его решение. Пример.

43. Уравнение вида F(у, у^', у^'')=0 и его решение. Пример.

44. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

45. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, основные свойства его решений.

46. Линейно-независимые решения дифференциальных уравнений 2-го порядка.

47. Свойства определителя Вронского для решений линейного однородного уравнения 2-го порядка.

48. Показать, что вронскиан для линейно-независимых, непрерывных на отрезке решений однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

49. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка: L[у] =0.

50. Теорема об общем решении однородного уравнения 2-го порядка, если известно одно его частное решение.

51. Решение линейного однородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

52. Решение линейного однородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае действительный равных корней характеристического уравнения.

53. Решение однородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения

54. Теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка: L[у] = f(х).

55. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

56. Теорема о нахождении частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка вида: L[у] = f₁(х) + f₂(х).

57. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть его имеет вид: Р_n(х).

58. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть его имеет вид: е^αх .

59. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть его имеет вид: е^αх Р_n(х).

60. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть его имеет вид: f(х) = е^αх Р_n(х)cosβх.

61. Определение числового ряда и его сходимости. Сумма ряда. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

62. Необходимый признак сходимости ряда.

63. Гармонический ряд.

64. Свойства сходящихся рядов (умножение на число, сложение, вычитание).

65. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения. Пример.

66. Признак Д'Аламбера. Пример.

67. Интегральный признак Маклорена-Коши. Пример.

68. Признак Коши (радикальный). Пример.

69. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

70. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

71. Функциональный ряд. Область сходимости.

72. Степенные ряды. Определение.

73. Сформулировать теорему Абеля.

74. Интервал и радиус сходимости. Пример.

75. Ряд Тейлора и Маклорена.

76. Разложение функции е^х в ряд Маклорена.

77. Разложение в ряды Маклорена тригонометрических функций соsх и sinу.

78. Применение степенных рядов для:

а) вычисления значений функции;

б) приближенного вычисления определенных интегралов;

Вопросы к экзамену

1. Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных

2. Неопределённый интеграл, его свойства

3. Основные правила и формулы интегрирования

4. Метод замена переменной (подстановки)

5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

6. Разложение рациональной функции на простейшие дроби

7. Интегрирование простейших дробей

8. Интегрирование рациональных функций

9. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

10. Интегрирование иррациональных выражений

11. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл

12. Основные свойства определённого интеграла

13. Теорема об оценке интеграла

14. Теорема о среднем

15. Теорема Ньютона-Лейбница

16. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

17. Вычисление площадей плоских фигур

18. Вычисление объемов тел вращения

19. Двойной интеграл, его вычисление

20. Применение интегрального исчисления в экономике

21. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

22. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

23. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

24. Линейные уравнения первого порядка

25. Уравнение Бернулли

26. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения.

27. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

28. Линейный дифференциальный оператор, его свойства

29. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений

30. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций

31. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения

32. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения

33. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

34. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения)

35. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения)

36. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения)

37. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа

38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

39. Применение дифференциальных уравнений в экономике

40. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда

41. Необходимый признак сходимости ряда

42. Достаточный признак сходимости ряда. Признак сравнения

43. Признаки Д’Аламбера и Коши

44. Интегральный признак сходимости ряда

45. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда

46. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов

47. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

48. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора

49. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Маклорена

50. Разложение по степеням  функций

51. Разложение по степеням  функций

52. Разложение по степеням  функций

53. Применение рядов в приближенных вычислениях

КОНСПЕКТ-СХЕМЫ

КС 1. Разложение многочленов на множители.

 - многочлен n^-ой степени

Теорема Безу:

, где z₀ - простой корень

, где z₀ - корень кратности k

Если z₀ - корень комплексный, , где i=

 и ,

то , где  – сопряженный корень.