Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора, Маклорена

Пусть дана функция , которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде

Задача состоит в определении коэффициентов  ряда. Для этого продифференцируем равенство, получим:

Полагая в этих равенствах , найдем

Тогда

Подставляя значения найденных коэффициентов  в равенства, получим

или

Это разложение функции  в ряд называется рядом Маклорена, это разложение функции называют разложением по степеням .

Рядом Тейлора называю ряд вида:

или

называют разложением по степеням .

Пример 45  Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Найдем производные , поэтому при  имеем  Подставляя эти значения в формулу получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой .

Пример 46  Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при :

Поэтому ряд Маклорена для функции  имеет вид

Пример 47  Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Аналогично, получим

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения:

функций, определенных интегралов.

Находятся приближенные решения дифференциальных уравнений.

Пример 48  Вычислить приближенно , с точностью 0,01.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

,

или

получили знакочередующийся ряд, из теоремы Лейбница следует, что погрешность , не превышает первого из отброшенных членов (по абсолютной величине). Так как пятый член ряда меньше заданной точности

,

то сумма ряда равна

.

Пример 49  Вычислить интеграл , с точностью 0,1.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

вычислим интеграл

Так как четвёртый член ряда меньше заданной точности , то данный интеграл равен

Приложения в экономике

Приложения интегрального исчисления в экономике

• Объем выпускаемой продукции, произведенной за время T.

Пусть функция y=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , задается формулой .

Построим интегральную сумму. Разобьем отрезок [0,T] на промежутки времени точками: . Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем:

, где

.

Тогда .

Перейдя к пределу при , найдем объем произведенной продукции

.

По определению определенного интеграла

,

таким образом

.

Итак, если f(t) – производительность труда в момент t, то  есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,T].

• Объем выпускаемой продукции за T лет.

Если в функции Кобба-Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит:

 (см. Пример 50).

• Вычисление современной (дисконтированной) суммы (финансовая математика).

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t при годовом проценте p, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть - конечная сумма полученная за t лет, и К – дисконтируемая сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то - удельная процентная ставка. Тогда . В случае сложных процентов  и поэтому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время Т вычисляется по формуле:

 (см. Пример 51).

• Применение теоремы о среднем.

Пусть известна функция t=t(x), описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где x – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от  изделий, вычисляется по теореме о среднем:

.

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t=t(x), то часто она имеет вид

,

где  – затраты времени на первое изделие,  - показатель производственного процесса. (см. Пример 52).

Пример 50  Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

Решение:

Используем метод интегрирования по частям. Пусть , . Тогда , .

Следовательно,

 (усл. ед.)

Пример 51  Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение:

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . Тогда по формуле:

дисконтированная сумма капиталовложений равна:

.

Вычислим интеграл по частям

Итак, получили  млн. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 31 млн. руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пример 52  Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от  до  изделий, используя формулу

,

полагая в формуле , где  – затраты времени на первое изделие,  – показатель производственного процесса,  (мин.), .

Решение:

 (мин.).

2.4.2 Приложения дифференциальных уравнений в экономике.

Рассмотрим некоторые задачи макроэкономической динамики.

• Пусть y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к

моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит .

Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, имеет место дифференциальное уравнение

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим

,

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) – постоянная величина, 0<m<1.

Подставляя последнее выражение для I(t) в дифференциальное уравнение, получим , обозначим k= mp, тогда .

Это дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решим его:

При начальных условиях  решение можно записать в виде .

Замечание. Уравнение  описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

• На практике условие насыщаемости рынка может быть принято

только для достаточно узкого времени интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены реализованной продукции от ее объема является убывающей функцией p = p(y). Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Дифференцируя уравнение  получим

Так как эластичностьспроса определяется формулой , получим

Условие  равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то  и функция выпукла вниз; в случае если спрос эластичен, то функция выпукла вверх.

Пример 53  Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса  задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , .

Решение:

Используя формулу, отражающую модель роста в условиях конкурентного рынка

,

получим

Решаем: разделим переменные:

интегрируя, получим:

         .

Учитывая, что , получаем, что .

Таким образом .

Пример 54  Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .

Решение:

Известно, что функция дохода равна

,

где  – сумма инвестиций,  – величина потребления.

А также имеет место дифференциальное уравнение

,

где  – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:

, или

Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде .

Тогда , подставим в уравнение

1)                              2)

Общее решение  или

Используя начальные условия , найдём :  или .

Итак, функция дохода имеет вид .

• Начиная с середины 1950^-х годов в макроэкономической теории

стали пользоваться неоклассическими моделями экономического роста, в частности моделями Солоу, в которых коэффициент капиталовооружённости  (стоимость основного капитала, приходящаяся на одного занятого в производстве) есть ведичина переменная, меняется в зависимости от состояния экономической коньюнктуры.

Основное уравнение модели Солоу есть частное дифференциальное уравнение первого порядка

,

где q – средняя производительность труда ( или стоимость дохода , произведённого одним работающим )

n – годовой темп прироста населения ( условно 0<n<0,03)

S_y – функция сбережения,  – инвестиции.

Данное уравнение показывает, как должна изменяться во времени капиталовооружённость  труда , чтобы существующий равновесный рост обеспечивал полное использование производственных мощностей, и в том числе – полную занятость.

Именно при условии  будем иметь место равновесный рост с постоянной капиталовооружённостью и постоянной производительностью труда.

Эту закономерность легко пояснить на графике.

Если левая часть выражения больше правой , то сбережения превышают инвестиции, то есть приращение капитала, необходимого для поддержания соответствующего уровня капиталовооружённости . То есть в этом случае выполняется неравенство  , что требует повышения капиталоёмкости (от  до ).

Напротив, если , то для достижения равновесия экономики и полной занятости следует понизить капиталовооруженность труда , что автоматически достигается рыночными изменениями ценовых параметров.

На рисунке линия  – прямая, так как условно предполагается, что прирост населения постоянен, линия  – выпуклая.