Признак сходимости Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда

1) монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

,

и

2) общий член ряда стремится к нулю, ,

то:

1) ряд сходится;

2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда

;

3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):

и имеет знак своего первого члена.

Пример 38  Исследовать на сходимость ряды

а)

б)

Решение:

а) ряд  сходится по признаку Лейбница, так как члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине

и общий член ряда стремится к нулю, ,

б) ряд  сходится по признаку Лейбница:

;  .

Если положить его сумму S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем

S=0,907.

Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональным рядом называется выражение

,

члены которого  являются функциями от .

Придавая  числовое значение , мы получаем числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений, , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим се через .

Функциональный ряд сходится в точке x₀ , если сходится числовой ряд .

Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.

На интервале сходимости J сумма ряда есть некоторая функция S(x).

Например, используя известные признаки сходимости числовых рядов, можно найти интервалы сходимости функциональных рядов:

1) .

2) ;  сходится для

3)  – ряд Дирихле: при  сходится, при  расходится.

4) расходится для .

Специальный класс функциональных рядов составляют гак называемые степенные ряды вида

= ,

где  -- последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.

Выясним, какой вид имеет "область сходимости" степенного ряда, тоесть множество  тех значений переменной, для которых ряд сходятся.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно в интервале , то есть при всех значениях , удовлетворяющих условию. .

Следствие:

Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .

Любой степенной ряд сходится при значении . Естьстепенныеряды, которые сходятся только при  и расходятся приостальныхзначениях .

Область сходимости может состоять из всех точекоси Ох, другимисловами, ряд может сходится при всех .

Пример 39  Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Ряд  представляет геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится при  и расходитсяпри .

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , по модулю меньших , ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших , ряд расходится.

Что касается значений  здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Радиусом сходимости степенного ряда  называетсятакое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал  называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех , кроме . считать , а для рядов, сходящихся при всех , считать .

Как найти радиус сходимости?

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при  отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

Найдем отношение  для этого ряда:

а затем предел его при :

Здесь множитель  вынесен за знак предела, как не зависящий от  и введено обозначение

,

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если ,. откуда . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно, при значениях .

Согласно томуже признаку Даламбера, ряд расходится, если  или . Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при  не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится при значениях . Следовательно, согласно определению, число  – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения получим

Пример 40  Найти радиус сходимости ряда

Решение:

Пример 41  Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем отношение

 т. е. ряд сходится только при  и расходится при остальных значениях .

Пример 42  Найти область сходимости степенного ряда:

Решение:

Здесь

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При  имеем ряд  он сходится по теореме Лейбница.

При  имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 43  Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд соответственно получим

 Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится а область его сходимости

Замечание.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд

имеющий радиус сходимости (  может равняться ). Тогда каждому значению  из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от  на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке  из интервала сходимости равна значению функции  в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции  на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Пример 44  Найтисумму степенного ряда

Решение:

Это ряд составленный из членов геометрической прогрессии, у которой . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если . Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция  определена для всех значений  кроме

Можно доказать, что сумма степенного ряда  непрерывна и дифференцируема на любом отроке  внутри интервала сходимости.

Равенство справедливое в интервале сходимости степенного ряда называют разложением  в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны