Руководство к изучению разделов

Тема: Неопределенный интеграл

Цель изучения данной темы: решение задачи, обратной

дифференцированию – нахождение самой функции по ее производной

или дифференциалу.

Данная тема включает в себя:

· Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

· Свойства неопределенного интеграла.

· Методы интегрирования:

- замены переменных,

- по частям.

· Интегрирование некоторых классов функций:

- простейших рациональных дробей,

- тригонометрических функций,

- некоторых видов иррацональностей.

Изучив данную тему, студент должен знать и уметь применять:

Ÿ интегралы от основных элементарных функций (таблицу интегралов);

Ÿ основные свойства неопределенного интеграла;

Ÿ основные методы интегрирования;

Ÿ разложение правильной рациональной дроби на простейшие;

Ÿ интегрирование рациональных дробей и простейших тригонометрических выражений;

Ÿ интегрирование некоторых видов иррациональностей;

а также приобрести навыки комбинирования этих методов и свойств для нахождения более сложных интегралов.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать п. 2.1.1–2.1.2 данного пособия, решить задачи своего варианта №1–40 контрольной работы №3.

Тема: Определенный Интеграл

Данная тема включает в себя:

Ÿ Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

Ÿ Свойства определенного интеграла.

Ÿ Понятие интеграла с переменным верхним пределом и получение основной формулы интегрального исчисления.

Ÿ Основные методы интегрирования для определенного интеграла.

Ÿ Геометрические приложения определенного интеграла – вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

Ÿ Понятие несобственных интегралов первого и второго рода.

Изучив данную тему, студент должен знать:

Ÿ понятие определенного интеграла и интегральной суммы;

Ÿ геометрический и экономический смысл определенного интеграла;

Ÿ необходимое и достаточные условия интегрируемости функции на сегменте;

Ÿ свойства определенного интеграла;

Ÿ теорему о среднем;

Ÿ понятие интеграла с переменным верхним пределом;

Ÿ формулу Ньютона-Лейбница;

Ÿ замену переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле;

Ÿ геометрические приложения определенного интеграла;

Ÿ понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го родов, их сходимости и расходимости.

Студент должен уметь:

Ÿ вычислять определенные интегралы, применяя свойства и методы интегрирования;

Ÿ вычислять площади плоских фигур;

Ÿ вычислять объемы тел вращения;

Ÿ вычислять несобственные интегралы.

Студент должен приобрести навыки использования интегралов в экономических задачах.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать п. 2.1.3–2.1.6 и раздел 2.4 данного пособия, решить задачи своего варианта №41–100 контрольной работы №3.

Тема: Дифференциальные уравнения

Цель изучения данной темы – использование математического аппарата дифференциальных уравнений для решения экономических задач, изучение моделей экономического роста.

Данная тема включает в себя:

Ÿ Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Частное, общее и особое решения дифференциального уравнения.

Ÿ Основные типы уравнений первого порядка , интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, уравнение Бернулли.

Ÿ Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Ÿ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: однородные и неоднородные. Структура общего решения.

Ÿ Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Ÿ Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Уравнения со специальной частью специального вида.

Изучив данную тему студент должен знать:

Ÿ Определение дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Ÿ Определение задачи Коши, формулировку теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Ÿ Методы решений основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах.

Ÿ Определение дифференциального уравнения второго порядка. Определение задачи Коши, формулировку теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Ÿ Три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

Ÿ Линейные свойства решений и теорему об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Ÿ Характеристическое уравнение и вид общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ÿ Теорему об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Ÿ Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Ÿ Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Студент должен уметь:

Ÿ Приводить примеры дифференциальных уравнений, используемых в простейших экономических моделях.

Ÿ Находить общее решение ( или общий интеграл) для простейших ДУ первого порядка, а также решать задачу Коши и строить интегральные кривые.

Ÿ Находить области, в которых можно применить теорему существования и единственности решения задачи Коши.

Ÿ Понижать порядок ДУ с помощью замены искомой функции.

Ÿ Составлять и решать характеристические уравнения, находить общее и частное решения для линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами.

Ÿ Применять метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами.

Ÿ Применять метод неопределенных коэффициентов для решения задачи Коши линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать разделы 2.2; 2.4 данного пособия, решить задачи своего варианта №101–140, 201–220 контрольной работы №7.

Тема: Ряды

Цель изучения данной темы – использование математического аппарата теории рядов, формирование у студентов понятий числового и функционального рядов, разложения функций в степенные ряды.

Данная тема включает в себя:

Ÿ Сходимость и сумма числового ряда

Ÿ Достаточные признаки сходимости

Ÿ Знакопеременные ряды

Ÿ Степенные ряды

Ÿ Разложение функции в степенной ряд

Изучив данную тему, студент должен знать

Ÿ Определение числового ряда и его суммы

Ÿ Необходимое условие сходимости числового ряда

Ÿ Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами : признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости

Ÿ Признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда

Ÿ Область сходимости степенного ряда

Ÿ Свойства степенных рядов

Ÿ Определение ряда Тейлора, ряда Маклорена

Ÿ Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора

Студент должен уметь

Ÿ Исследовать сходимость числовых рядов с положительными членами

Ÿ Исследовать сходимость знакопеременных числовых рядов

Ÿ Находить область сходимости степенных рядов

Ÿ Разлагать простые функции в ряд Тейлора

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать раздел 2.3 данного пособия, решить задачи своего варианта №141–200 контрольной работы №7.