Проверка остатков на гомоскедастичность

Как уже отмечалось, одной из важных предпосылок МНК является предпосылка о гомоскедастичности остатков, т.е. о постоянстве дисперсии остаточного члена уравнения регрессии. Выполнение этой предпосылки (наряду с другими) обеспечивает хорошие качества МНК-оценок.

Последствия невыполнения этой предпосылки схожи с таковыми при наличии автокорреляции в остатках. В результате этого статистические выводы на основе полученных оценок могут быть ошибочными и привести к неверным заключениям по построенной модели.

Вернёмся к уравнению на рисунке 3.5. График остатков этого уравнения приведён на рисунке 3.8. На нём видна их явная гетероскедастичность, т.е. непостоянство их дисперсии, а именно: с течением времени размах остатков вокруг нуля возрастает. Это типичное явление при анализе временных рядов, если их уровни растут с течением времени.

Гетероскедастичность часто встречается так же и при анализе пространственной информации, особенно, когда анализируются абсолютные показатели, отражающие масштаб изучаемого явления или процесса (доходы, прибыль, зарплата и т.д.).

Разработаны различные методы по выявлению гетероскедастичности остатков. Остановимся на одном из них, программно реализованном в EViews. Это тест Уайта (White test) на гетероскедастичность.

Идея этого теста в следующем. Оценивается исходное уравнение регрессии и затем строится вспомогательное уравнение зависимости квадрата остатков исходного уравнения от всех независимых переменных, их квадратов и попарных произведений.

Так, если исходное уравнение , то вспомогательное уравнение имеет вид .

Проверяется нулевая гипотеза о том, что не существует связи между дисперсией остатков и независимыми переменными, т.е. остатки  гомоскедастичны. Доказано, что если верна нулевая гипотеза, то  следует распределению хи-квадрат с p степенями свободы, где n – объём выборки,  – коэффициент множественно детерминации вспомогательного уравнения, p – число регрессоров во вспомогательном уравнении (без константы).

Если , то гипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется. В этом случае Probability для Obs*R-squared будет больше принятого уровня значимости (рисунок 3.26).

Для проведения теста Уайта (после оценки уравнения регрессии) нужно выбрать «View/Residual Test/ White Heteroskedasticity (cross term)»         (рисунок 3.25).

Рисунок 3.25 – Выбор теста Уайта на гетероскедастичность остатков

После реализации теста, получим (рисунок 3.26).

Рисунок 3.26 – Тест Уайта на гетероскедастичность остатков

В данном случае тестировалось уравнение, оцененное на рисунке 3.5. Вспомогательное уравнение в этом тесте имеет следующие оценки (рисунок 3.26):  = 0,4088, n = 180,  = 73,59 (Obs*R-squared на рисунке 3.26), Probability = 0 (это расчётный уровень значимости). Следовательно, гипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется – приведённое уравнение имеет гетероскедастичные остатки.

Как видно на рисунке 3.25, тест Уайта может быть реализован и без попарного произведения переменных (no cross terms). Как показывает опыт, при достаточно большом объёме выборки существенного различия в реализации этих двух тестов не наблюдается, т.к. уменьшение  в этом случае компенсируется уменьшением степеней свободы -статистики. Однако если объём выборки мал, то попарные произведения в тест лучше не включать, т.к. «лишние» регрессоры могут ухудшить качество оценок (как отмечалось, каждый регрессор должен быть обеспечен не менее чем 6–7 наблюдениями).

Наличие гетероскедастичности не позволяет получать эффективные оценки, что может привести к необоснованным выводам по их качеству. Уайт показал, что в случае гетероскедастичности можно получить состоятельные оценки ошибок коэффициентов регрессии, если ковариационная матрица ошибок диагональная, т.е. ошибки не коррелированы. Рассчитанные таким образом ошибки (с учётом гетероскедастичности) получили название «стандартные ошибки в форме Уайта» и могут быть рассчитаны в EViews. Для этого надо выбрать (после того, как выяснится, что остатки гетероскедастичны) «Proc/Specify Estimate…» и в появившемся диалоговом окне «Equation Estimation» щёлкнуть на заставку «Option» и выставить там флажок в позиции «Heteroskedasticity consistent coefficient covariance – согласованный с гетероскедастичностью коэффициент ковариации» (рисунок 3.27). По умолчанию точка будет стоять в позиции «White». Тем самым заказывается процедура расчёта стандартных ошибок в форме Уайта. В результате реализации этой процедуры получим следующий результат (рисунок 3.28). Сравните с рисунком 3.4. Оценки остались теми же самыми, а стандартные ошибки уменьшились (по крайней мере для RS и C).

Рисунок 3.27 – Вызов процедуры расчёта состоятельной оценки стандартной ошибки в форме Уайта и Ньюи–Веста

Рисунок 3.28 – Стандартные ошибки в форме Уайта

Неоднозначность полученного результата (стандартные ошибки в форме Уайта для переменных M1 и PR увеличились) можно объяснить тем, что корректировка ошибок даёт значимые результаты только в случае, когда гетероскедастичность возникает в случае правильной спецификации уравнения регрессии. В нашем же случае ситуация более сложная (см. тест Чоу далее).

Отметим, что EViews позволяет скорректировать ошибки оценок и в случае, когда ковариационная матрица остатков содержит ненулевые элементы, расположенные параллельно главной диагонали. Для этого используется уже рассмотренная процедура, но уже в форме Ньюи–Веста (см. рисунок 3.27).