Четность (нечетность функций),

Функция у = f (х) называется четной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции совпадают

f (− х) = f (х), где .

График четной функции симметричен относительно оси Oy так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (- x, y).
Функция у = f (х) называется нечетной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции противоположны.

f (− х) = − f (х), где  .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).
Говорить о четности либо нечетности можно говорить лишь для тех функций, области определения которых симметричны относительно начала координат.

Периодичность (функций),

· Функция у=f(х)называется периодической с периодом Т, если для каждого х из D(f) числа х+Т, x-T также принадлежат D(f) и при этом справедливо f(x+Т)=f(x)=f(x-T).

· Наименьшее из положительных чисел Т называется основным периодом функции. Часто основной период функции называют просто ее периодом. 

Обратная функция.

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение y, что f(y)=x, то говорят, что функция g — обратная функция к f.

Или

Определение:Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений R(f). Обратная к f — функция f−1 определяется как функция с областью определения D(f−1)=R(f) и множеством значений R(f−1)=D(f) , такая что f−1(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y. Таким образом, f−1 возвращает y обратно в x.

Предположим, мы имеем функцию: v = u ² ,

где  - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v : .

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:  и , каждая из которых является обратной по отношению к другой.

Графики функций: , , , .

синус

Билет 14

1. Записать векторное уравнение прямой в пространстве,

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки и направляющего вектора , параллельного этой прямой.

Пусть прямая проходит через точку , лежащую на прямой параллельно вектору . Рассмотрим произвольную точку на прямой. Очевидно, что  .

Так как векторы и коллинеарны, то найдется такое число , что , причем число может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки на прямой. Множитель называется параметром.

Обозначив радиус-векторы точек и соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра соответствует радиус-вектор некоторой точки , лежащей на прямой

 получить канонический вид уравнений прямой в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка   лежит на прямой а и  - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы  и   коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора - они равны разности соответствующих координат точек и , то есть, . Теперь записываем условие коллинеарности векторов  и :
, где - произвольное действительное число (при точки и совпадают, что нас тоже устраивает). Если , ,  , то каждое уравнение системы можно

разрешить относительно параметра и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.

Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве,

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a, указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора , то есть, .

Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид  

и представляет собой параметрические уравнения прямой a.