А) аппроксимация полиномами.

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция y(x) ищется в виде суммы, аналогичной (5.3), но содержащей сравнительно небольшое число слагаемых:

                                    (5.9)

Предполагая, что каким-то образом выбраны коэффициенты a_k, тогда в каждой точке сетки (451) можно вычислить погрешность:

                                (5.10)

Функция δ, принимающая значения δ₁, δ₂, …, δ_n, представляет собой сеточную функцию и называется погрешностью решения .

Сумма квадратов этих величин называется суммарной квадратичной погрешностью:

                            (5.11)

Возникает задача: найти такой набор коэффициентов a_k, при которых суммарная квадратичная погрешность J оказывается минимальной.

Функцию (5.9) с набором коэффициентов, удовлетворяющих этому требованию, называют наилучшим приближением по наименьших квадратов.

Построение наилучшего приближения сводится к задаче поиска экстремума функции J от нескольких переменных:

(5.12)

Уравнения (4.12) можно переписать в виде:

, l=0,1,…,m            (5.13)

где

             (5.14)

Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений (5.14), в которой роль неизвестных играют искомые коэффициенты разложения a₀, a₁, … , a_m. 

Пример 5.2. Пусть известны экспериментальные значения концентрации некоторого вещества M в зависимости от времени протекания реакции:

Таблица 1.

Считая, что концентрация вещества описывается полиномом второй степени, определить его коэффициенты.

Решение:

Здесь общее количество точек равно 5, степень полинома m=2, j₀(х)=1, j₁(х)=х, j₂(х)=х².

Для нахождения коэффициентов полинома, необходимо решить систему линейных уравнений. Определим ее коэффициенты:

, ,

, ,

g_0,0=5, g_0,1=250, g_0,2=13¢500, g_1,1=13¢500, g_1,2=775¢000, g_2,2=46¢590¢000

и коэффициенты, стоящие в правых частях системы:

, ,

b₀=5,895, b₁=277,86, b₂=14237,6

Итоговая система для определения коэффициентов имеет вид:

Для решения этой системы можно использовать любые имеющиеся пакеты математических прикладных программ, в том числе можно использовать и написанную программу для решения систем линейных алгебраических уравнений, приведенной в теме 2.

Применяя эту программу, можно рассчитать коэффициенты а₀, а₁, а₂.

Окно ввода этой программы будет иметь вид:

Данные в программу вводятся согласно вышеописанной системе.

После введения данных программа выдает исходную матрицу А и после этого преобразованную матрицу. Поскольку матрица верхнетреугольная, то при выводе второй и третьей строк они немного смещены влево относительно первой строки. В правой части каждой строки стоят значения b_i.

Значения полученных переменных даны в виде x[1], x[2], x[3].

Следует учитывать, что коэффициент x[1] – это коэффициент, стоящий при х², т.е. а₂ ; коэффициент х[2] это коэффициент, стоящий при х, т.е. а₁; а x[3] – это коэффициент, стоящий без х, т.е. а₀..

Зная эти значения, можно выписать уравнение квадратичной функции, аппроксимирующей экспериментальные данные:

Р₂(х) = 7×10^-5 x² - 0,024 x + 2,19                                (5.15)

Экспериментальные и расчетные значения показаны в таблице:

Рассчитаем суммарную квадратичную погрешность замены экспериментальных значений функцией вида (4.15):

Таким образом, найденная зависимость, описываемая уравнением (5.15), имеет достаточно хорошую согласованность с эмпирически полученными значениями М., что видно по следующему рисунку: