Б) аппроксимация методом выравнивания (линеаризация).

Очень часто вид эмпирической зависимости подсказывает исследователю, какой именно аналитической функцией ее можно описать. Но, зачастую, количество параметров, от которых зависит выбранная аналитическая функция больше двух. Для их определения необходимо применять методы оптимизации, которые дадут значения параметров с некоторой погрешностью.

Однако, если выбранная аналитическая зависимость характеризуется лишь двумя параметрами, то можно использования метод выравнивания. Лишь после этого можно перейти к отысканию тех значений постоянных коэффициентов, которые дадут наилучшее приближение экспериментальных и расчетных величин.

Метод выравнивания заключается в преобразовании функции y=j(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию. Достигается это путем замены переменных х и y новыми переменными:

                                     (5.16)

которые выбираются так, чтобы получилось уравнение прямой:

Y=A+BX                                        (5.17)

Числовые значения коэффициентов А и В определяются как:

                       (5.18)

Пример 5.3.Изменение концентрации вещества M в реакции подчиняется экспоненциальному закону . Необходимо определить начальное значение вещества M₀ и значение константы скорости расхода вещества k.

Решение:

Для того, чтобы превратить исходную экспоненциальную зависимость в линейную, необходимо ее прологарифмировать. Тогда получим:

                                       (5.19)

Вводя новые переменные: Y = ln(M), A = ln(M₀), B = –-k_P, X = t

cоставим дополнительную таблицу (помимо таблицы 1) для расчета коэффициентов линейной зависимости Y(X):

Таблица 2.

В последней строке таблицы приведены суммы величин.

Подставляя требуемые значения в формулу (4.18), рассчитаем коэффициенты линейной зависимости:

Отсюда, k_P=1.45×10^-2, М₀ = е^0.87 = 2.39.

Следовательно, экспоненциальное уравнение, описывающее изменение концентрации вещества M в реакции имеет вид:

                    (5.20)

Таблица данных, содержащая экспериментальные значения М и расчетную зависимость приведена ниже:

Таблица проиллюстрирована на следующем рисунке:

Рассчитаем суммарную квадратичную погрешность замены экспериментальных значений функцией вида (5.20):

Таким образом, найденная зависимость, описываемая уравнением (5.20), имеет также достаточно хорошую согласованность с эмпирически полученными значениями М.

В) Сравнение методов

Проанализируем полученные в пунктах А) и Б) значения. Для этого достаточно сравнить эти значения между собой.

Сравнение можно провести путем поиска наименьшего среди суммарных отклонений функции.

В данном случае наилучшее приближение дает описание экспериментальной кривой полиномом второго порядка. Квадратичная погрешность замены экспериментальных значений функциональной зависимостью равна:

Это означает, что полином второго порядка лучше приближен к экспериментальным точкам, чем экспоненциальная зависимость. Хотя, экспоненциальная зависимость дает возможность определять недостающие кинетические параметры: начальную концентрацию и константу скорости реакции.

Поэтому, при решении задачи аппроксимации выбор аппроксимирующей функции следует делать, исходя из требований и условий задачи.

Как видно по рисунку, сравнение «на глаз» невозможно, поскольку графики расчетных зависимотей сливаются между собой, поэтому единственно допустимым способом выбора вида аппроксимирующей функции остается поиск наименьшей суммарной квадратичной погрешности.

Вообще говоря, некоторые пакеты прикладных программ имеют в своем арсенале готовые модули, позволяющие подбирать для экспериментальной зависимости аналитические функции различного вида.

Выбор той или иной аппроксимирующей функции пользователь делает сам, а на экран выдается коэффициент корреляции.