ТЕМА 5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

На отрезке [a,b] рассматривается функция y=f(x), значения которой определены лишь в конечном числе точек. Эти точки образуют на отрезке [a,b] сетку

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b                              (5.1)

а соответствующие им значения функции f:

y_i=f(x_i), i=0, 1, 2, …, n                                                     (5.2)

представляют собой сеточную функцию. Такой способ задания функции называется табличным.

Задача аппроксимации заключается в следующем: по сеточной функции (5.1),(5.2) построить функцию непрерывного аргумента g(x), аппроксимирующую функцию f(x): g(x)»f(x).

Это позволит приближенно вычислять функцию f(x) в любой точке отрезка [a,b], а не только в точках сетки (5.1).

Интерполирование.

Пусть дана система функций j₀(x), j₁(x), …, j_n(x), определенная на отрезке [a,b]. Для этой системы ищется аппроксимирующая функция g(x) в виде линейной комбинации функций:

                            (5.3)

Требование: в точках сетки (5.1) функция g(х) должна принимать такие же значения (5.2), что и функция f(x):

g(x_i)=f(x_i)                               (5.4)

Сформулированную таким образом задачу построения функции непрерывного аргумента g(x), аппроксимирующей функцию f(x), называют задачей интерполирования.

Наиболее часто рассматривают интерполирование полиномами, тогда:

j₀(x)=1, j₁(x)=x, …, j_n(x)=xⁿ.                                    (5.5)

В этом случае функция g(x) записывается как полином n-ой степени:

g(x)=P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ.            (5.6)

Существует несколько форм его записи, одна из них принадлежит Лагранжу:

(5.7)

При этом условие (4.6) выполняется во всех точках сетки:

P_n(x_i)=y_i, i=0, 1, 2,…,n                                 (5.8)

Пример 5.1. Построить интерполяционный полином для функции y=sin(x). Сетка состоит из трех точек: x₀ = 0, x₁ = π/6, x₂ = π/2. Сеточная функция имеет вид: y₀ = 0, y₁ = 1/2, y₂ = 1.

Решение:

Поскольку максимальный индекс точек сетки равен 2, то и степень интерполяционного полинома будет равна двум. Используя формулу Лагранжа (4.7), получится:

Легко проверить, что в точках сетки этот полином Р₂(х) принимает нужные значения.

Для определения погрешности интерполирования можно рассчитать значение sin(x) и P₂(x) в точке х= π/4:                     

e=sin(π/4) – P₂(π/4) = 0.7071 – 0.6875 = 0.02

Значительная величина погрешности определяется тем, что на отрезке длиной π/2, взята грубая сетка, состоящая всего из трех точек.

Метод наименьших квадратов.