Использование математического пакета MathCad в расчетах

По аппроксимации функций

Пакет MathCad предоставляет пользователю достаточно большие возможности по аппроксимации различных функций, однако здесь мы приведем лишь некоторые из них – это поиск линейной и полиномиальной зависимостей.

Пример 5.4.

Пусть даны значения х и y:

Решение. Используя функцию line, можно получить значения коэффициентов А и В:

Тогда можно построить два графика h(t) и  M(t) в одной плоскости, здесь за M(t) считается M1^Т:

Если считать, что найденные значения А и В можно перевести в k_р и М₀, то k_P=1.45×10^-2, М₀ = е^0.87 = 2.39.

Пример 5.5.

Даны значения

Описать эту зависимость полиномом второго порядка

Решение.

Необходимо ввести три вектора

,

где vs – вектор весовых коэффициентов каждой точки матрицы М, поскольку все точки равнозначны, то их весовые коэффициенты можно задать единичными.

В столбец К вводят функции, являющиеся j_k(x) из уравнения (5.9), для полинома второй степени их ровно три:

Переменная s и будет рассчитывать коэффициенты Р₂(х).

Тогда l(t) будет реализовывать значения полинома второго порядка.

По рисунку видно, что расчетный полином второго порядка l(t) хорошо аппроксимирует экспериментальные данные. Сопоставляя два последних рисунка можно сделать вывод, что и экспоненциальная, и квадратичная зависимости удовлетворительно описывают экспериментальные данные. Следовательно, провести выбор более «лучшей» аппроксимирующей кривой можно лишь на основании дополнительно проведенных исследований.

Задания для лабораторной работы №5

Задание 1.

А) Экспериментальные зависимости теплоемкости некоторого вещества от температуры представлены в виде таблицы:

описать эту зависимость интерполяционным многочленом.

Б)Построить в табличном редакторе Excel (Gnuplot) графические зависимости для экспериментальных данных (точки) и расчетных данных (сплошная линия).

Задание 2.

А)Экспериментальные данные по скорости реакции W в зависимости от концентрации С представлены в таблице:

Описать эту зависимость многочленом 2 порядка.

Б)Построить в табличном редакторе Excel (Gnuplot) графические зависимости для экспериментальных данных (точки) и расчетных данных (сплошная линия).

Задание 3.

А)Скорость реакции n-ого порядка описывается следующим уравнением .

Экспериментальные данные представлены в таблице:

Определить порядок реакции n и константы скорости k методом выравнивания, рассчитав коэффициенты линейной функции, описывающей эти данные.

Б)Построить в табличном редакторе Excel (Gnuplot) графические зависимости для экспериментальных данных (точки) и расчетных данных (сплошная линия).

Задание 4.

Применяя пакет MathCad, сделать следующее:

а) Для таблицы данных:

описать зависимость интерполяционным многочленом 4-го порядка.

б) Для таблицы данных

подобрать линейную зависимость.

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача аппроксимации?

2. Какая функция называется сеточной?

3. Что такое интерполяция?

4. Какой многочлен называется интерполяционным?

5. Выпишите формулу интерполяционного многочлена Лагранжа?

6. В чем его преимущества и недостатки?

7. В чем заключается метод наименьших квадратов?

8. Какова максимальная и минимальная степени интерполяционного полинома?

9. Как вычислить суммарную квадратичную погрешность?

10. На чем основан выбор аппроксимирующей функции?