Комбинированный метод хорд и касательных

Как видно из таблицы на 3 -ей итерации получен корень уравнения, равный x=(a₃+b₃)/2=0,739. Точность равна 0,01. (для определенности оставим в значении корня третий знак после запятой)

Последовательность вложенных сегментов имеет вид:

^-[0,1]⁺ É ^-[0.685,0.755]⁺ É ^-[0.736,0.739]⁺ É ^-[0.739,0.739]⁺ É 0.739.

Верхние индексы, стоящие слева и справа от отрезка, показывают знак функции соответственно в левом и правом конце интервала.

Использование математического пакета MathCad в расчетах

По поиску корней уравнения

MathCad позволяет находить корни любого уравнения с одним неизвестным f(x) = 0 в численном виде, а для многих уравнений и в аналитическом (символьном виде). Если уравнение можно решить аналитически, то приводятся сразу все корни (исключая тригонометрические уравнения, где приводится один корень). Если же уравнение решается численно, то целесообразно вначале локализовать корень, то есть выделить отрезок существования лишь одного пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс.

Для решения уравнения в аналитическом виде используется оператор solve, вызываемый с панели инструментов Solving(«Символика»), при этом уравнение в левой части оператора solve необходимо вводить в виде f(x)=0, где знак «=» вводится с панели булевых операторов.

Пример 4.2.  

Найти решение уравнения из примера 4.1.

Решение.

Как видно, решение уравнения совпадает с ранее найденным различными численными методами. Тот же ответ дает использование оператора root :

Приведенное решение показывает, что вначале необходимо ввести начальное приближение к корню, если же необходимо найти корень на отрезке , то функция root может быть записана иначе:

Получаемый ответ тот же.

Помимо root, для f(x), имеющих вид полинома, можно использовать функцию polyroots, которая позволяет найти все корни уравнения f(x)=0, включая комплексные, но в качестве аргумента используется не функция f(x), а вектор коэффициентов полинома, начиная со свободного.

Пример 4.3.

Для функции f(x) = x² - 10x + 13 найти корни.

Решение.

Функция является левой частью уравнения (1) для матрицы из примера 3.2:

Полученное решение совпадает с уже найденным.

Задания для лабораторной работы №4:

Задание 1.

а) Известно, что вещество С расходуется в мономолекулярной реакции с константой скорости k=8,2*10^-2 с^-1. Начальное значение концентрации вещества С равно N*10^-2. Определить аналитическую зависимость для концентрации вещества С от времени реакции и найти такое время, при котором значение концентрации вещества С было бы равно N*10^-3.

Примечание. Для решения задачи принять: а=25 с, b=35 c, e=0,001.

б) Найти решение скалярного уравнения: y = sin(N) + lg(x) + x – 10,5, a=8, b=12, e=0.001.

Задание 2.

а) - Построить в редакторе EXCEL (GNUPLOT) графическую зависимость C(t), ограничив время реакции 45 сек.

- Табулирование функции вести с шагом по t, равным 3 с.

- Шкала графика по оси C имеет:

максимальное значение = 3/2* N*10^-2;

           минимальное значение = -3/2* N*10^-2

           цена основного деления = 5* N*10^-3.

б) Построить в редакторе GNUPLOT график функции y(x) на промежутке [a,b] с шагом по сетке, равным (b-a)/10. Добавить на рисунок надпись «Точка пересечения графика функции y(x)=… с осью Ох есть точка х=…». 

Задание 3.

Найти решение задач в MathCad:

а) из задания 1 а) путем использования функции root с локализацией и без локализации корня, приняв за начальное приближение t=0;

б) из задания 1 б) путем использования функции root с локализацией и без локализации корня, приняв за начальное приближение х=25;

в) в обоих случаях построить графики функций на соответствующих отрезках: a) [0;45]; б) [25;35].

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции.

2. Какие случаи поведения функции возможны на выбранном отрезке.

3. Назовите суть метода бисекции.

4. Как рассчитать количество итераций при поиске корня заданного уравнения, используя метод бисекции?

5. Назовите суть метода итераций.

6. Для каких функций подходит метод итераций при поиске нуля функции?

7. Какая формула применяется для остановки работы алгоритма метода итераций?

8. Назовите суть метода хорд.

9. Назовите суть метода касательных.

10. В чем преимущество комбинированного метода хорд и касательных?