ТЕМА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ВЕКТОРОВ МАТРИЦЫ

Рассмотрим задачу поиска нетривиальных решений системы дифференциальных уравнений:

где А – матрица из действительных чисел размерности n×n, y=y(t) – n-мерная векторная функция скалярного аргумента t.

Система дифференциальных уравнений будет иметь решения заданного вида в том и только том случае, если найдутся такие пары чисел 𝝺 и векторов х≠0, что 𝝺х=Ах.

Ненулевой вектор х≠0, удовлетворяющий уравнению 𝝺х=Ах, называется собственным вектором матрицы А. Число 𝝺 называется собственным значением. Совокупность всех собственных значений матрицы образует ее спектр. Собственное значение и собственный вектор образуют собственную пару матрицы <𝝺|x>.

Для нахождения собственного вектора необходимо найти нетривиальные решения однородного уравнения (A-𝝺E)x=0, то есть решить уравнение:

det(A-𝝺E)=0                                          (1)

Уравнение (1) называется характеристическим (вековым) уравнением и определяет собственные значения матрицы.

Замечание: Из определения следует, что любая квадратная матрица имеет n собственных значений – действительных или комплексных, простых или кратных чисел. С собственными векторами ситуация осложняется тем, что их количество может быть от 1 до n.

Пример 3.1.

Найти все собственные значения и вектора матрицы А:

           2        1

А=     1        2

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

                          2-𝝺     1

det(A-𝝺E)=      1        2-𝝺     = 0

(2-𝝺)*( 2-𝝺)-1=0 ó      𝝺²-4𝝺+4-1=0                   ó

           𝝺²-4𝝺+3=0       ó      (𝝺-1)( 𝝺-3)=0

Найдем собственные вектора, соответствующие этим значениям:

1)𝝺₁=1

                          2-1     1                        1        1            

det(A-𝝺E)=      1        2-1     ó      1        1        =0

Составим уравнение (оно одно, поскольку количество линейно-независимых строк равно единице):

ξ₁+ ξ₂=0 ó      ξ₁= -ξ₂               => Пусть ξ₁=а, ξ₂=-а. Значит вектор α₁, соответствующий значению 𝝺₁=1 имеет координаты (а, -а).

2)𝝺₂=3

                          2-3     1                        -1       1            

det(A-𝝺E)=      1        2-3     ó      1        -1       =0

Составим уравнение (оно одно, поскольку количество линейно-независимых строк равно единице):

-ξ₁+ ξ₂=0          ó      ξ₁= ξ₂   

Пусть ξ₁=а, ξ₂=а. Значит вектор α₂, соответствующий значению 𝝺₂=3 имеет координаты (а, а).

Таким образом, получили собственные пары матрицы А:
 <1|(a,-a)> и <3|(a,a)>.

Использование математического пакета MathCad в расчетах