Использование математического пакета MathCad в расчетах

По решению СЛАУ

Пусть дана система:

2x + y – z + d = 6

x - 2y + 2z – d = 1

3x + 2y + z – 2d = -2

-x + 3y – 3z + 2d = 1

требуется найти ее решение.

Пакет MathCad дает большие возможности по решению СЛАУ как численно, так и символьно.

Используя матричное исчисление: X= A^-1×B.

Вначале задают исходные данные матрицы А и столбца В

Затем вычисляют столбец X (здесь он носит имя x1):

Отметим, что при работе с матрицами в MathCad, ввод матриц ведется с панели инструментов Matrix («Матрица»).

Видно, что значение столбца х1, соответствующее переменой z, равно нулю, но MathCad выводит его в виде числа с плавающей запятой, поэтому иногда применяют преобразование следующего рода:  

Но действия по нахождению решения СЛАУ можно реализовывать численно, для этого можно воспользоваться ручным вводом встроенной функцией lsolve (A,B), аргументами которой являются матрица коэффициентов А и свободный столбец В, при этом порядок аргументов имеет значение, так как использование аргументов в обратном порядке не приводит к результатам, а вызывает ошибку вычислений:

Видно, что значение х3 не может быть найдено (при использовании MathCad и переменная А в функции lsolve, и вектор х3 подсвечиваются красным цветом) - это признак методической ошибки.

Если же все записано правильно, то можно найти значения вектора х2:

Отличие значений третьей переменной у непреобразованных векторов х1 и х2 заключается во встроенных методах расчета.

Находить решение, используя обратные матрицы целесообразно, если матрица имеет небольшое число строк и решение должно быть получено однократно, если же матрица громоздка, то решение удобнее искать посредством функции lsolve, в которой заложен метод LU-разложения матрицы.

К матрицам применимы еще несколько удобных встроенных функций MathCad:

детерминант матрицы |A| = -6

ранг матрицы rank(A) = 4

сцепление матрицы augment (A,B) работает по правилу объединения вправо:

Очевидно, что и в этой функции порядок введения аргументов важен!

Задания для лабораторной работы №2:

Задание 1.

Найти решение СЛАУ по МГ:

Задание 2.

А) Найти разложение матрицы А на L и U :

Б)Имея две матрицы L и U и столбец В найти: а) матрицу А; б) переменные Y; в) переменные Х:

Задание 3.

Найти обратную матрицу для матрицы А

Задание 4.Найти решение СЛАУ из задания 1 в MathCad путем:

а) использования обратной матрицы;

б) использования функции lsolve.

Контрольные вопросы

1. Какая система уравнений называется системой линейных алгебраических уравнений?

2. В чем заключается методика решения системы методом Гаусса?

3. Как решить систему линейных уравнений по алгоритму метода Гаусса?

4. Какие матрицы получаются при прямом и обратном ходе метода Гаусса?

5. Сколько и каких недостатков у метода Гаусса?

6. Сформулируйте теорему об LU-разложении.

7. Как использовать LU-разложение матрицы при решении системы линейных алгебраических уравнений.

8. Какие произведения матриц L,U будут характеризовать прямой и обратный ход метода Гаусса?

9. Объясните суть использования метода Гаусса при нахождении обратной матрицы.

10. Какие еще существуют методы нахождения обратной матрицы?