Лемма Арцелы (критерий компактности).

def: Семейство , функций  называется равномерно ограниченными, если . Здесь и в дальнейшем .

def: Семейство , функций  называется равномерно непрерывными, если

Пример 1:

Пусть даны числа  и  положим  - множество тех функций  (условие Гёльдера порядка ), тогда  равностепенное, непрерывное семейство. Фиксируем ,  из этого следует, что можно взять любое . Однако,  не является равномерно ограниченной, так как  содержит все константы.

Пример 2:

Возьмем  тогда  − равномерно ограничено . Покажем, что семейство  не является равностепенно непрерывным, то есть выполнено его отрицание . Положим . Пусть  - произвольное малое число. Выберем , тогда  больше периода функции , из этого следует, что на любом интервале длины  существуют точки  и  для которых , а . В этом случае , следовательно  не является равностепенно непрерывным.

Лемма Арцелы (Arzela – итал.)

Пусть  - равномерно ограниченное и равномерно непрерывное семейство функций , тогда из каждой последовательности  можно выделить последовательность  равномерно сходящейся к непрерывной функции  ( может не принадлежать семейству ).

Пример:

 тогда , но

Доказательство

◄ Пусть ,… – все рациональные точки на . Поскольку  - ограниченное множество в  (в силу равномерной ограниченности ), то существует подпоследовательность  последовательности  такая, что  фундаментальна в  (по теореме Больцано – Вейерштрассе). Поскольку  ограничена в  то существует подпоследовательность  последовательности  такая, что  фундаментальна в . Поскольку  ограничена в  то существует подпоследовательность  последовательности  такая, что  фундаментальна в  и так далее. Получим семейство последовательностей:

Выберем диагональную подпоследовательность  (метод Кантора). Покажем, что  искомая подпоследовательность. Докажем, что  равномерно фундаментальна на , то есть . В силу равностепенной непрерывности семейства . Разобьем  на равные отрезки длины меньше . Тогда : в каждом отрезке этого разбиения есть хотя бы одна точка из  (пусть отрезок разбит на M частей; для каждой части выбирают  и выбираем ). В силу плотности рациональных чисел на . Заметим что  – фундаментальна в  так как  - подпоследовательность последовательности , начиная с .

Далее, , .

Покажем, что это N – искомое .

Пусть , , тогда х принадлежитнекоторому отрезку разбиения. В этом отрезке есть хотя бы одна из точек , например  ( и  могут быть на концах отрезка разбиения). Заметим .

Имеем

 ( ).

       Итак,  равномерно фундаментальна на . Поэтому при каждом фиксированном  последовательность  - фундаментальна в  и следовательно по критерию Коши сходится в  к некоторому элементу . Устремим в ( ) m к . Получим, что : . Это означает, что  сходится равномерно к  на . Поскольку  – непрерывна на , то по теореме из анализа  так же непрерывна на . Лемма доказана ►