Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.

Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ОДУ).

Лекции

Семестр.

Лектор: Сухинин М. Ф.

Оглавление

Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот....................................................................................................................................... 3

Лемма Арцелы (критерий компактности)................................................................................ 5

Ломаные Эйлера и теорема Пеано............................................................................................ 7

Теорема о единственности решения задачи Коши для систем ОДУ. Следствие для ОДУ n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы............................................................... 8

Лемма о равномерной непрерывности................................................................................... 11

Непрерывность решения системы ОДУ по начальным данным и параметру................... 11

Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского..... 13

Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы............ 15

Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства............................................................. 16

Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля... 17

Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши.......................................................................................................................... 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы...................................................................................................................................... 18

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы...................................................................................................................................... 20

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения 21

Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости...................................................................................................................................................... 24

Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант................ 25

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению..... 28

Лемма Адамара.......................................................................................................................... 30

Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру........ 30

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов...................................................................................... 33

Существование полной системы первых интегралов.......................................................... 34

Линейные однородные УрЧП первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы ОДУ. Замечание о квазилинейных уравнениях.................................................................... 35

Квазилинейные УрЧП первого порядка. Две леммы о характеристиках........................... 38

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧП первого порядка в случае пространственных переменных............................................................................... 40

Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении. 43

Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства............................................................................. 44

Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.

Системой ОДУ называется система вида:

 (1)

где . Пусть  и якобиан , тогда по теореме о неявной функции можно выразить  через остальные переменные то есть

 (2).

Система (2) называется канонической, число  называется порядком системы (2). Вектор – функция  называется решением системы (1) или (2), если при подстановке этой вектор – функции в систему (1) или (2) получаем тождество.

       Вектор – функция  называется общим решением уравнений (1) или (2) в области или , если каждое решение системы (1) или (2), график которого лежит в G, может быть представлена в виде:  при некотором наборе констант  Система вида:

 (3)

где ,  называется нормальной. Произвольная каноническая система (2) может быть сведена к нормальной с помощью введения новых неизвестных функций.

Введем новые неизвестные функции:

 (4)

Тогда (2) сводится к виду: (5)

Системы (2) и (5) эквивалентны, система (5) нормальная. Порядки систем (2) и (5) одинаковы и равны , поэтому в дальнейшем в основном будем исследовать только нормальные системы (то есть вида (3)). Иногда нормальная система может быть сведена к одному ОДУ n-го порядка. Пусть дана система (3):

 (3)

Продифференцируем первое уравнение из (3) один раз, два раза, …  раз (если это возможно):

 (6).

Допустим, что в рассматриваемой области, тогда по теореме о неявной функции можно выразить  через остальные переменные, то есть

.

Подставим эти соотношения в последнее уравнение из (6), получим  - ОДУ n-го порядка. Такое сведение не всегда возможно.

Пример:

, здесь