Понятие функции действительной переменной,способы задания и простейшие классы функций

3. Суперпозиция функций, обратная, неявная и параметрическая функции

4. Классификация элементарных функций

Введение

Этой лекцией начинается одна из важных тем «Математический анализ», посвященных в основном исследованию функций.

В предыдущем семестре в теме «Теория множеств» было изучено понятие функции на множестве. Очередные несколько лекций будут посвящены этим функциям, но только для действительных множеств. Напомним, что функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с одинаковыми первыми элементами и разными вторыми, или другими словами, единственному элементу одного множества некоторым образом соответствует единственный элемент другого множества.

При изучении лекции следует обратить внимание и сравнить уже известные понятия «суперпозиция» и «обратная функция» из теории множеств (см. л. 1 – 4, ч. 1) с  аналитическим способом задания функции в данной лекции.

Рассмотрим множество действительныхчисел R, на котором будут задаваться функции, а также его свойства.  

Множество действительных чисел и его свойства

Итак, предметом математического анализа является функция и ее свойства. Основной метод математического анализа – предельный переход.

Определение 1.

Дельта-окрестностью точки  называется множество точек, таких, что расстояние от любой точки x этого множества до точки  меньше дельта, или .

Возьмем некоторое множество ~R, тогда графически дельта-окрестность может быть представлена на рис. 1.

1. Упорядоченность.

 и  справедливо только одно из унарных отношений: , , .

2. Плотность.

,  при .

3. Непрерывность.

 и : .

Понятие функции действительной переменной,

Способы задания и простейшие классы функций

Понятие функции действительной переменной

Зададим два множества  и , обозначив их элементы  и  соответственно.

Определение 2.

Отображение D из множества R на E из множества R, которое ставит в соответствие элементу множества D единственный элемент множества E, называется функцией. Обозначается  или , или . При этом x – независимый аргумент, y – зависимая переменная (функция). D – область определения функции, E – множество ее значений.

Способы задания функции

1. Аналитический способ.

В виде аналитического выражения (рис. 2) зависимой переменной y от независимого аргумента x. Преимущества такого способа – компактность записи, возможность найти значение функции для любого аргумента и точность. Недостатками являются отсутствие наглядности, громоздкость вычислений.

2. Графический способ.

В виде графической зависимости (рис. 3) переменной y от независимого аргумента x.  Преимущества такого способа – наглядность, возможность найти значение функции для любого аргумента. Недостатком – низкая точность, невозможность анализа функции.

3. Табличный способ.

2.3. Простейшие классы функций

Определение 3.

Функция  называется четной, если справедливо , то есть если точка (x,y) принадлежит графику четной функции, то и точка (-x,y) также принадлежит этому графику. График функции симметричен относительно оси Oy.

Определение 4.

Функция  называется нечетной, если справедливо , то есть если точка (x,y) принадлежит графику четной функции, то и точка (-x,-y) также принадлежит этому графику. График функции симметричен относительно начала координат.

Определение 5.

Функция  называется периодической, если существует число l>0, такое, что

 .                      (1)

Можно показать, что функция, удовлетворяющая равенству (1), удовлетворяет и равенству , где . То есть .

За период принимают наименьшее значение l, от прибавления которого значение функции не изменяется.

Определение 6.

Функция  - монотонно возрастающая на множестве M, если  и  из неравенства  следует .

Определение 7.

Функция  - монотонно убывающая на множестве M, если  и  из неравенства  следует .

В определении функции подчеркивалось, что . Определенная таким образом функция называется однозначной. Иногда приходится расширить понятие функции до неоднозначного: .

ПРИМЕР 1.

, , или . В этом случае функция многозначна.

3. Суперпозиция функций, обратная, неявная и параметрическая функции

3.1. Суперпозиция функций

Пусть  и , , .  

Определение 8.

Отображение : , которое каждому элементу x из X ставит в соответствие элемент z из Z, называется сложной функцией или суперпозицией функции (см. л. 4, ч. 1) или функцией от функции.

.                   (2)

ПРИМЕР 2. .

3.2. Обратная функция

Если между множествами  и  существует взаимно-однозначное соответствие, то можно говорить об отображении  на , или о функции , или , или . Полученная таким образом функция называется обратной функцией (см. лекция 4, часть 1).

Замечание!

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно оси .

3.3. Параметрическая функция

Определение 9.

Задание функции, при котором обе переменные, связанные функционально, выражаются через переменную t – параметр, называется параметрическим.

 .                      (3)

 – эллипс.

3.4. Неявная  функция

Определение 10.

Задание функции равенством, неразрешенным относительно самой функции, называется неявным.

 .                                 (4)

ПРИМЕР 4.

, следовательно,  – неявное задание функции.

4. Классификация элементарных функций

Основные элементарные функции:

1. Степенная функция , .

2. Показательная функция , ( ).

3. Логарифмическая функция , ( ).

4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции

Определение 11.

Элементарными функциями называются функции, полученные с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций функций.

Все элементарные функции делятся на два класса – алгебраические и трансцендентные.

Определение 12.

Алгебраические – это функции, полученные из независимой переменной посредством операций .

 В свою очередь алгебраические функции делятся на рациональные, т. е. не содержащие операций возведения в дробную степень, и на иррациональные, содержащие такую операцию.

 В свою очередь рациональные функции делятся на целые и дробные.

Целой рациональной функцией или многочленом называется функция вида .

Определение 14.

Дробной рациональной функцией называется отношение целых функций .

Замечание!

Все неалгебраические функции называются трансцендентными ( ).

Заключение

На этой лекции рассмотрены основные способы задания функций и их классификация, поэтому ее понимание очень важно на протяжении изучения всего курса высшей математики. Рекомендуется для лучшего усвоения следующих разделов высшей математики возвращаться к данной лекции.   

Отметим что:

- множество действительных чисел упорядоченное, плотное и непрерывное;

- дельта-окрестность может быть бесконечно малой;

- понятие сложной функции основано на понятии суперпозиции отношений;

- понятие обратной функции основано на понятии обратного отношения;

- не явная функция не разрешена относительно переменной;

- параметрическое задание функции определяется через третий параметр;

- функции бывают четные, нечетные и периодические;

- все функции бывают алгебраические ( ) и трансцендентные ( ).  

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

План лекции