Множества принято обозначать прописными буквами  латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами с индексом или без него.

Например, множества A, B, ... X, Y, Z и соответственно элементы a, b,... x, y, z. С целью упрощения многих математических записей и придания им наглядности в математике помимо стандартных кванторов общности и существования вводят так называемые сокращения высказывания, например,  знакомые  вам  “>”,  “ ” и т. д. Запишем основные сокращения, используемые в высшей математике.

Сокращения

 – "элемент a принадлежит множеству X ";

 – "элемент a не принадлежит множеству X ";

 – обозначение произвольности, читается "  - для любого элемента x множества A";

 – обозначение существования, читается " - существует (найдется) элемент y из множества B";

 – обозначение существования и единственности, " существует единственный элемент b из множества C";

: – “такой, что” или “обладающий свойством”. Обычно таким значком дополняется предыдущее сокращение .

 – обозначение следования - "если ..., то ...";

 – обозначение равносильности - "тогда и только тогда".

Множества могут быть заданы тремя основными способами.

Способы задания множеств

1)Перечислением. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Обозначение списка записывается в фигурных скобках.

ПРИМЕР 1.

А={январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} – множество месяцев года.

2) Порождающей процедурой. Трудно перечислить все натуральные числа от 2 до 2ⁿ. В этом случае множество задается описанием способа получения его элементов. Элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Множество всех чисел, являющихся степенями двойки ,  или , может быть задано порождающей рекурсивной или индуктивной процедурой:

а)  или б) если , то .

3) Описанием характеристических свойств. Множество можно задать при помощи объявления свойства, определяющего, какие элементы принадлежат, а какие не принадлежат описываемому множеству. В этом случае множество задается в фигурных скобках записью общего элемента и свойства всех элементов.

ПРИМЕР 3.

Множество в предыдущем примере .

Наиболее часто используемые виды множеств:

A – некоторое множество физических объектов, цен, услуг и т. д.;

N – множество натуральных чисел N= {1, 2, 3,... };

Z – множество целых чисел Z= {0, ±1, ±2, ±3,... };

Q – множество рациональных чисел Q= { : , };

R – множество действительных (вещественных) чисел.

Множество может содержать много элементов или лишь несколько, например множество русских букв содержит ровно 33 элемента. Множество натуральных чисел N содержит бесконечно много элементов. Может быть и предельный случай, когда множество вообще не содержит элементов, например множество действительных корней уравнения x⁴+8 = 0.

Определение 2.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

В общем случае множества бывают конечные и бесконечные.

Конечное множество – это такое множество, для которого существует натуральное число, равное числу его элементов.

Например, множество русских букв – конечное множество, так как существует натуральное число 33, равное числу элементов этого множества.

Определение 4.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Замечание!!!