Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейная зависимость векторов
Условия линейной зависимости векторов Базис пространств 4. Элементы теории проекций 5. Декартов базис 6. Полярная система координат Цели занятия:познакомиться с основами векторной алгебры; научиться представлять вектор в декартовом базисе, определять линейную зависимость векторов; познакомиться с основами теории проекций. Роль и место лекции Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Векторный анализ, элементы теории поля». Такое фундаментальное понятие, как «базис» позволит взглянуть на понятие размерности пространства с другой стороны и расширить это понятие до n-мерного пространства Понятие линейной независимости необходимо будет при решении систем линейных уравнений и др. Элементы теории проекций особенно необходимы в географических науках, чертежных и др. работах. 1. Линейная зависимость векторов Пусть задано множество векторов в линейном пространстве L (1) и некоторый ненулевой (если хотя бы одна из ) набор чисел . (2) Определение 1. Вектор называется линейной комбинацией векторов системы (1), если он равен сумме попарных произведений векторов системы (1) с соответствующим числом набора (2). (3) ПРИМЕР 1. . Определение 2
. (4) Если же равенство (4) выполняется только при всех , то система векторов (1) называется линейно-независимой. ПРИМЕР 2. Для векторов , , запишем: , , следовательно векторы - линейно-зависимы. Замечание !!! Если среди векторов системы (1) есть хотя бы один , система линейно-зависима. Пусть , для и . Пусть по условию. Тогда , следовательно, система (1) линейно-зависима. Теорема 1 (критерий линейной зависимости векторов). Для того чтобы система векторов была линейно-зависима, необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор системы можно было представить в виде линейной комбинации других векторов системы. Доказательство. Необходимость. Дана линейно-зависимая система (1). Требуется доказать, что . Из определения 2 следует, что (5) при ненулевом наборе . Пусть . Из (5) можно найти : . Достаточность. Дано . (6)
Следствие!!! Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные, т. е. – линейно-зависимы , т. к. по условию коллинеарности следует, что , откуда по теореме – линейно-зависимы. 2. Условия линейной зависимости векторов Теорема 2. Три вектора линейно-зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, т. е. – линейно-зависимы . Доказательство. Необходимость. Дано – линейно-зависимы. Доказать: . Из теоремы 1 следует, что , где – числа. По определению , , следовательно, пл. ( ), . Достаточность. Дано: . Доказать, что – линейно-зависимы. Представим три вектора в одной плоскости (рис.1). На основаниях векторов построим параллелограмм так, чтобы вектор был диагональю этого параллелограмма ONKM. Тогда , следовательно, по теореме 1 – линейно-зависимы. Теорема 3 Любые четыре вектора в линейно-зависимы. Доказательство. Изобразим произвольно 4 вектора в пространстве. По рис. 2 . Следовательно, по теореме 1, – линейно-зависимы. 3. Базис пространств Дана система векторов в L . (7) Определение 3.
Определение 4. Полная, линейно независимая система векторов в пространстве называется базисом этого пространства. ПРИМЕР 3. Если и не коллинеарные, то в они образуют базис. По определению они линейно-независимые. Это полная система потому, что присоединение 3-го вектора приведет к образованию трех компланарных векторов в , а следовательно, согласно теореме 2 они линейно-зависимы. Следствие !!! Из теоремы 1 и определения 4 следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов: . (8) Выражение (8) называется разложением вектора в данном базисе, а числа – координатами в базисе B: . В чаще всего принимают базис, векторы которого ортогональны. , . (9) Теорема 4 (единственности разложения вектора в базисе). Разложение вектора в данном базисе единственно. Доказательство (от противного). Предположим, что верно (8) и верно
где хотя бы для одного i. Вычтем из (8) равенство (10) - = . Следовательно, система B линейно-зависима, а это противоречит тому, что система B – базис. Предположение не верно, т. е. для любых i, значит, разложение единственное. Определение 5. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Следствие!!! Из теоремы 2 следует, что 3 некомпланарных вектора образуют базис (трехмерное пространство). 4. Элементы теории проекций Определение 6. Проекцией вектора на ось l ,если он сонаправлен с вектором , называется число, равное длине вектора , и противоположное число, если направление противоположно ( , если , и - , если ). = , где . Теорема 5. . Теорема 6. . 5. Декартов базис В за базис примем , где ; , – декартов базис. Тогда любой вектор можно разложить в этом базисе (рис. 4). , (11) где – координаты в базисе. Теорема 7.
Из . (12) Согласно теореме 4 данное разложение (12) единственное. Из по определению нормы в следует, что , , где , , . Определение 7. Радиус-вектором точки называется вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Обозначается для точки как ; . Пусть даны точки и . Их соответствующие радиус-векторы равны и (рис. 4). Из получим . Для проекции на Ox имеем . Аналогичные рассуждения можно провести для остальных проекций. Тогда получим: (13) Теорема 8. Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектор: . (14) 6. Полярная система координат В полярной системе координат вектор задается следующим образом. Задается его длина и угол поворота, отложенный от положительного направления оси . Положительный угол считается при повороте против часовой стрелки. Задать вектор в полярных координатах означает задать его норму и угол (рис. 5). То есть – формула Эйлера, где i= – мнимая единица. Данные вопросы относятся к теории комплексных чисел и будут изучаться позже. В соответствии с рис. 5 можно привести формулы, связывающие декартову и полярные системы координат: , . Окончательно получим
Заключение В лекции векторная алгебра освящена на более высоком уровне. Декартова система координат представлена на основе теории проекций. Это дает более глубокое понимание вектора в трехмерном пространстве. Введено фундаментальное понятие «базис». Отметим следующее: - размерность пространства определяется его базисом; - линейная зависимость означает возможность представить один вектор в виде линейной комбинации других векторов; - базис может быть и не ортогональным; - разложение в данном базисе единственное; - существуют другие системы координат. Литература 1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001. 2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с. 3. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1998. 4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002. 5. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998. 6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, – 659 с. 7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Лань, 2002, – 440 с. Лекция 7 Эвклидово пространство
|
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 382. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |