Основные понятия теории множеств

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ  1.

Ставрополь

2003

ББК 22.1

УДК 514.2, 512.64

С 50

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Ставропольского государственного

университета

Смирнов А.А.

С 50 Теория множеств, аналитическая геометрия и линейная алгебра: Лекции по математике. Часть 1: Учебное пособие – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003. – 130 с.

Учебное пособие представляет собой курс лекций, содержащий три раздела: «Теория множеств», «Аналитическая геометрия», «Линейная и векторная алгебра».

Предназначено для студентов I курса биолого-химического факультета по специальности 011600 – Биология, а может быть использовано для специальностей 013400 – Природопользование, 011000 – Химия.

Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук,  доцент  А.Н. Макоха

кандидат тех. наук, преподаватель ФРВИ РВ М.Э. Солчатов

© Издательство Ставропольского

государственного университета, 2003

Движение точки – прямая. Движение прямой – плоскость. Движение плоскости – пространство. Движение пространства – четвертое измерение.

Пособие составлено в соответствии с авторской программой по математике и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для студентов специальности 011600 – Биология, и представляет собою курс лекций, охватывающий три раздела: «Теория множеств», «Аналитическая геометрия», «Линейная и векторная алгебра», являющиеся составной частью курса математики. Традиционно эти разделы читаются в первом семестре.  

Пособие содержит основные понятия, определения, теоремы и наиболее важные задачи. План лекции позволит студенту представить структуру всего курса и место каждого вопроса в ней. Предлагаемая литература к лекции даст возможность познакомиться с различными подходами в изучении вопросов и глубже их понять.

В курсе лекций излагаются оригинальные взгляды на некоторые вопросы математики, обобщаются многие теоретически сложные вопросы, что позволяет интегрировать аппарат высшей математики в прикладные вопросы различных специальностей. Приведены примеры  из многих прикладных областей. Оригинальность некоторых рисунков упрощает восприятие сложных вопросов. Ряд теорем и формул приведены с доказательством, так как использованные в нем приемы можно применять при решении практических задач.

Вводная часть позволит студенту представить не только структуру конкретной лекции, но и ее роль, и место в курсе высшей математики. В конце лекции сделан акцент на особо важных вопросах, что закрепляет полученные знания. Причем аспекты расставлены таким образом, что заставляют задуматься над, казалось бы, известными ранее вопросами. Кроме того, по ходу лекции на наиболее важных выводах делается особый акцент.

Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался «Началами» Евклида.

1. Древняя Греция. После окончания периода завоеваний индоевропейцами Средиземноморского побережья на заре XIII в. до н. э. появились первые зачатки греческой цивилизации с главным городом Милет (VI в. до н. э). О зарождении греческой математики судить сложно. К настоящему времени сохранилось только несколько фрагментов александрийских папирусов. После завоевания (334 г. до н. э.) Александром Македонским Египта (Александрии) греческая математика стала интенсивно развиваться.

В этот период жили:

великий математик Евклид (III в до н. э.), - великий труд – «Начала» (13 книг); основоположник современной математики  (понятия точки линии и т.д.); 

математик, механик и философ Древней Греции Аристотель (384 – 322 гг. до н. э.), - скорость звука меньше скорости света;

2. Арабская цивилизация (VII - XIII вв. н. э.). Падение Александрии (в 640 г.) ознаменовал закат греческой цивилизации. В эту эпоху начались великие завоевания территорий мусульманским миром. Образовалась огромная мусульманская империя от Индии до Испании, включая Северную Африку и южную Италию. Центром империи стал Дамаск (Сирия). Начался расцвет арабской науки. 

Любой труд, чтобы получить вес в науке, должен был быть написан на арабском языке. В силу богатства языка многие математические понятия получили новое толкование. В течение 8 веков арабы стали хранителями мудрости и просветителями. Их достижение – десятичная система счисления с нулем.

В этот период жили:

арабский математик Аль-Хорезми Абу Абдаллах (около 800 – 847 гг. н. э.), - теория квадратных уравнений; теория десятичной системы;

математик и астроном Аль-Каши ( - 1429 г. н. э.), - «Ключ к арифметике», «Трактат об окружности» и др.

Арабская цивилизация стала мостом и хранителем древних знаний, переданных после европейцам.

3. Век великих переводов. Эпоха христианского средневековья продлилась с 476 г. – падение Римской империи – и по 1453 г. взятие турками Константинополя. Она сопровождалась упадком цивилизации и науки. Начиная с XII в. европейцам был открыт доступ к арабской науке. Барьером на ее пути являлся арабский язык. Поэтому XII век стал веком великих переводов.

В этот период жили:

математик и философ Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 – 1250 гг. н. э.), - числа Фибоначчи;

итальянский математик, механик и художник Леонардо да Винчи (1452 – 1519 гг.), - один из основоположников правил перспективы.

4. Математизация науки в XVII в. Открытия Коперника и Кеплера способствовали впоследствии бурному развитию математики. Они показали, что явления природы подчиняются точным математическим законам.

В этот период и позже жили:

английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон (1642 – 1727);

немецкий философ и математик Генрих Лейбниц (1646 – 1716);

математик, механик и физик Леонард Эйлер (1707 – 1783);

кроме того, перечислим наиболее значимые события.

Ферма – Теория чисел, Виет – совершенствование алгебры, Паскаль и Ферма – создание теории вероятностей, Лейбниц и Ньютон – исчисление бесконечно малых. Началась эпоха академий наук. Появились такие ученые-математики, как Лагранж, Ламберт, Бернулли, Даламбер и др.

5. Эпоха расцвета французской математики. Это было время Французской революции, в которой принимали участие и великие математики. В 1794 г. была основана Политехническая школа. В ней преподавали Монж, Лагранж, Ампер, Пуассон, Фурье, Коши и др. Франция как центр науки привлекала к себе многих ученых. В конце этой эпохи жил французский математик Огюстен-Луи Коши (1789 – 1857).

6. Современная эпоха математики. Начиная с XIX в. больше стало возможностей в общении ученых. Стало больше публикаций и росло количество теоретических результатов. Этому способствовало развитие технического прогресса, демократизации и капитализации общества. Стало больше научных центров: Норвегия – Абель, Венгрия – Бойяи, Чехословакия – Больцано и др. Германия становится одним из научных центров.

Немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777 – 1855) – «король» математики. Его постулат: «Профессор может обучать всему, чему пожелает».

В Кенигсберге работал Якоби, в Берлине – Дирихле (с 1844 по 1855 гг.), в Геттингене – Риман (с 1854 по 1866 гг.). Далее там работал Гильберт. Славилась и вторая Берлинская школа, возглавляемая с 1860 г. Куммером, Кронекером, Вейерштрассом.  

Стали появляться первые математические школы: Лондонское математическое общество (1865), Московское математическое общество (1866), Французское математическое общество (1872), Американское математическое общество(1888), Немецкое математическое общество (1890).

Важный вклад в математику сделали советские ученые: А. Д. Александров, П. С. Александров, С. Н. Бернштейн, Н. Н. Боголюбов, И. М. Виноградов, В. М. Глушков, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров, Ю. В. Линник, А. И. Мальцев, П. С. Новиков, Л. С. Понтрягин, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов. Благодаря им наша страна выведена на одно из первых мест в мире по развитию математики.

В настоящее время все большую роль начинает играть прикладная математика. Применение математики в таких науках как биология, астрономия, химия и др. открывает новые горизонты не только в решении технических задач, но развивает саму математику. Что стоит  открытие генома человека, клонирование, создание нейрокомпьютеров и др. О таких достижениях без применения современной математики нельзя было и мечтать. Этот процесс непрерывен, он продолжается и будет все более охватывать сознание прогрессивного человечества.

В 1890 году Гильберт изложил перед Вторым международным конгрессом список из 23 проблем, которые должны определять ход будущей математики XX в. Многие проблемы до сих пор не решены.

Математика – это тот точный «инструмент», которым пользуются практически все науки для осознания, описания или даже предсказания окружающего нас мира, включая человека как субъекта. С того момента как человек осознал, что два предмета это больше одного ему уже понадобился математический аппарат. Он зарождался в подсознании и помогал развиваться человечеству. Математика это то звено, которое объединяет все науки и позволяет им называться науками.

Лекция  1