Скалярное произведение в трехмерном пространстве

Скалярное произведение векторов

Угол между векторами; направляющие косинус векторы

Цели занятия:познакомиться с понятием эвклидова пространства; на основе предыдущей лекции рассмотреть эвклидово пространство как частный случай; понять смысл скалярного произведения; научиться определять скалярное произведение векторов, представленных в различных видах. 

Роль и место лекции.

Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Векторный анализ, элементы теории поля». Такое фундаментальное понятие, как «скалярное произведение» позволит взглянуть на понятие пространства с другой стороны и осознать, что эвклидово пространство – это некоторая часть нашего мира, удовлетворяющая лишь определенным условиям. На основе этого пространства формируются аксиомы. В другом пространстве может формироваться новая математика. 

1. Понятие «эвклидово пространство»

Возьмем трехмерное линейное пространство L= .

Определение 1.

Скалярным произведением двух элементов  и  пространства L называется функционал , удовлетворяющий определенным свойствам:

.               (1).

Обозначается скалярное произведение как  или .

Возьмем n-мерное линейное пространство , в котором заданы два вектора  и .

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов.

 .               (2)

Проверим, удовлетворяет ли (2) определению 1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Аналогичным образом необходимо проверять любые функционалы, претендующие на скалярное произведение. Возьмем пространство  - квадрат интегрируемых функций

Определение 3.

Скалярным произведением функций  и  называется интеграл произведения этих функций на отрезке  

 .                       (3)

Удовлетворяет ли выражение (2) условиям (1) предлагается проверить самостоятельно.

Определение 4.

Пространство, в котором определено скалярное произведение, называется эвклидовым, т. е. и  – эвклидовы.

Теорема 1.

Всякое эвклидово пространство нормировано.

Доказательство.

Норма в эвклидовом пространстве задается как  

1) ;

2) ;

3) .

1. , следовательно, .

2. Для проверки второго условия воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:

                               .                       (4)

С учетом второго условия и (4) рассмотрим норму суммы:

.

3. = = .

Все три условия выполняются. Теорема доказана.

2. Скалярное произведение в трехмерном пространстве

Возьмем два вектора , .

Определение 5.

Скалярным произведением векторов в  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

, где .        (5)

С учетом равенства  запишем выражение (5)

.        (6)

Покажем, что (5) также удовлетворяет условиям (1):

1) ;

2) =(теорема 5, л. 2)= = ;

3) ;

4) .

ПРИМЕР 1.

Теорема 2.

Два вектора перпендикулярны , когда их скалярное произведение было равно нулю. .

Доказательство.

Необходимость. Дано . Доказать, что .

Из определения 5 следует, что  = ,  следовательно, .

Достаточность. Дано . Доказать, что .

.  Тогда  или , или . Поскольку рассматриваем не нулевые векторы, то .

Вывод!!!  перпендикулярен любому вектору.

3. Скалярное произведение векторов

Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями: , .

Скалярное произведение этих векторов

, т. к. это базисные векторы и , а , так как . Поэтому

 .                       (7)

Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями, – , . Из (5)

.      (8)

Найдем углы между вектором  и базисными векторами . То есть , ,  (рис. 2).

Аналогично найдем остальные косинусы

 . (9)

Определение 6.

Направляющим называется косинус угла между вектором и одним из базисных векторов. Единичный вектор может быть задан как .

Заключение

В лекции рассматривалось эвклидово пространство, математический и физический смысл скалярного произведения; изучено понятие «направляющий косинус». Отметим:

- в эвклидовом пространстве пространство должно быть задано скалярное произведение;

- скалярное произведение есть число;

- два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0;

- угол между векторами определяется их скалярным произведением и длинами векторов;

- единичный вектор можно задавать направляющими косинусами.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

Определители, векторные и