Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Смешанные произведения векторов
Определители Векторное произведение векторов Векторное произведение векторов, заданных координатами 4. Смешанные произведения векторов Цели занятия:познакомиться с понятием «матрица», ее математическим и физическим смыслом; понять, что нахождение определителя матрицы является базовым при нахождении векторного и смешанного произведения векторов; понять геометрический смысл смешанного произведения векторов. Роль и место лекции Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Матрицы» и «Системы линейных уравнений». Такое фундаментальное понятие, как «определитель» позволит находить решения систем линейных уравнений, смешанное и векторное произведение векторов и т.д. Понятие «смешанное произведение векторов» является одним из связующих звеньев между алгеброй, геометрией и векторным анализом. 1. Определители Определение 1. Квадратной матрицей называется таблица чисел, состоящая из n строк и n столбцов. Обозначаются матрицы прописными буквами A, B, C и т. д. , (1) где - элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца. Определение 2. Определителем, или детерминантом второго порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице второго порядка и определяемое следующим образом:
1.1. Свойства определителя 1. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный: . 2. Если все элементы строки, столбца – нули, то определитель равен нулю: . 3. Если в матрице одинаковые две строки (столбца), то определитель равен нулю: . 4. Если в матрице пропорциональны две строки (столбца), то определитель равен нулю: . 5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя: . 6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить элементы какой-нибудь другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число: . Доказательство (основано на определении).
.
Определителем или детерминантом третьего порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице третьего порядка и определяемое следующим образом: .(3) Замечание !!! Так как определитель третьего порядка определяется через определитель второго порядка, то все описанные свойства определителя второго порядка справедливы и для третьего. Определение 4. Минором элемента называется определитель, полученный вычеркиванием i-й строки, j-го столбца, на пересечении которых находится элемент: . (4) Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка: . Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента называется минор , умноженный на : : , . (5) Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка: . (6)
Теорема 1 (Лапласа). Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения равна определителю. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю: . Определение 6. Определителем n-го порядка называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице n-го порядка и определяемое как . (7) 2. Векторное произведение векторов Определение 7. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям: 1) ; 2) ; 3) направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется против часовой стрелки (рис. 1), и обозначается . ПРИМЕР 1. Вектор угловой скорости определяется вектором линейной скорости и радиус-вектором как .
1) ; 2) ; 3) ; 4) Коллинеарности векторов . (8) |
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 380. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |