ФЛАТТЕР КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Флаттером называются автоколебания тел в потоке газа или жидкости.

При появлении скоростных самолетов в 30-х годах флаттер служил причиной многочисленных катастроф. Явление флаттера тесно связано с теми воздействиями, которые поток воздуха оказывает на колеблющееся крыло.

Поскольку здесь нет возможности рассматривать детально эти воздействия, ограничимся лишь принципиальной картиной явления; подробности и способы расчета реальных конструкций содержатся в специальной литературе.

При флаттере крыло самолета совершает изгибно-крутильные колебания. Поэтому для анализа этого явления необходимо учесть, по крайней мере, две степени свободы крыла. При практических расчетах достаточно учесть движения крыла по первым формам собственных изгибных и крутильных колебаний. Для еще большег6о упрощения рассмотрим жесткое крыло, имеющее две степени свободы, соответствующие его вертикальному перемещению и повороту (рис.).

Существенное значение имеет положение центра жесткости крыла, т. е. той точки его хорды, приложение вертикальной силы в которой вызывает только вертикальное перемещение крыла, но не его поворот. К этой точке (О на рис.) мы и будем приводить действующие на крыло силы.

Если обозначить вертикальное перемещение центра жесткости крыла , а изменение угла атаки крыла в процессе движения , то упругие сила и момент, приложенные в точке О, будут равны соответственно  и , где  и  — коэффициенты жесткости.

Сила инерции и момент сил инерции относительно точки О составляют:

;

             .       (1.1)

Здесь Ь — расстояние от центра жесткости до центра массы крыла; m —масса; r — радиус инерции массы крыла относительно" "центральной оси.

Наибольшие трудности представляет определение изменений аэродинамических сил, возникающих в связи с движением крыла. Простейшая гипотеза относительно этих сил состоит в том, что их можно вычислить так же, как и при неподвижном крыле, подставив лишь в соответствующие формулы значения мгновенного угла атаки. В этом предположении получаем увеличение подъемной силы и момента:

; . (1.2)

Здесь  — плотность воздуха;  — скорость потока; F — площадь крыла;  — уменьшение эффективного угла атаки в связи с вертикальным движением крыла;  — расстояние от центра жесткости до центра давления (который расположен на одной четверти хорды крыла).

Формулы (1.2) представляют собой грубое приближение, так как в них полностью игнорируется влияние движения крыла на обтекание. Более точное решение задачи показывает, что если крыло совершает, например, гармонические колебания с частотой , то следует учитывать еще инерцию присоединенной массы воздуха и то обстоятельство, что изменение подъемной силы оказывается сме6щенным по фазе относительно изменения угла атаки.

Как величина присоединенной массы, так и фазовый сдвиг зависят от безразмерного параметра , характеризующего частоту колебаний.

Однако ради упрощении не будем учитывать всех этих обстоятельств и дополнительно в первой из формул (1.2) пренебрежем слагаемым , которое характеризует аэродинамическое демпфирование вертикальных колебаний крыла. Итак, получаем уравнения:

;

            .     (1.3)

где .

Отыщем решение системы уравнений (1.3) в виде, соответствующем гармоническим колебаниям:

; .       (1.4)

Подстановка этих выражений в уравнения (1.3) приводит к однородным алгебраическим уравнениям относительно  и :

;

(1.5)

.

Приравняв нулю определитель системы (1.5), получим частотное уравнение. Для того чтобы привести это уравнение к более простом у виду, введем следующие обозначения: ;  — собственные частоты поступательных (изгибных) и крутильных колебаний крыла;  — относительная плотность крыла.

Тогда частотное уравнение можно представить в виде

                                                                                          (1.6)

При нулевой скорости потока  это уравнение дает два положительных значения  соответствующих двум собственным частотам системы.

С увеличением скорости потока возможно появление двух типов неустойчивости. Так, один из корней уравнения (1.6) может обратиться в нуль, что соответствует обращению в нуль свободного члена уравнения (1.6):

                                                                     (1.7)

Обращение в нуль частоты собственных колебаний системы свидетельствует о статической ее неустойчивости. В самом деле, возвращаясь в формуле (1.7) к первоначальным обозначениям, приведем ее к виду

.

Если это соотношение выполняется, то при повороте крыла на угол  момент дополнительной подъемной силы

уравновешивается упругим моментом .

Явление статической потери устойчивости крыла при достижении скоростью потока значения  называется дивергенцией.

Для крыльев самолетов, как правило, скорость дивергенции существенно превышает скорость полета, и дивергенция не представляет реальной опасности.

Другой вид потери устойчивости — изгибно-крутильный флаттер — связан с тем, что частоты, определяемые из уравнения (1.6), становятся комплексными. В самом деле, если имеются сопряженные комплексные частоты , то соответствующие решения уравнений движения имеют множители

.

Экспоненциальные множители с действительными положительными показателями неограниченно возрастают. Таким образом, в этом случае движение представляет собой колебания с нарастающими амплитудами (колебательный характер движения определяется множителями ).

Итак, условием наступления флаттера является появление комплексных корней уравнения (1.6), что происходит при обращении в нуль его дискриминанта:

                                                 (1.8)

Из уравнения (1.8) нетрудно подсчитать скорость флаттера.

Не останавливаясь на дальнейшем анализе этого уравнения, проследим на числовом примере, как изменяются частоты свободных колебаний крыла по уравнению (1.6) при увеличении скорости потока. Допустим, что ; ; ; ; .

Этим данным соответствуют скорость дивергенции [найденная по уравнению (1.7)]  и скорость флаттера  [по уравнению (1.8)].

График изменения частот колебаний системы в зависимости от скорости потока, построенный в соответствии с уравнением (1.6), показан на рисунке.

При  система имеет две частоты собственных колебаний, мало отличающиеся от частот чисто крутильных и чисто изгибных колебаний. С увеличением скорости потока частоты сближаются и при скорости флаттера оказываются равными друг другу.

Наличие кратных собственных частот для консервативной системы не связано с какими-либо особенностями ее поведения. Для неконсервативной системы, которую представляет собой крыло, находящееся в потоке воздуха, слияние двух частот ведет к потере устойчивости движения. В процессе колебаний система начинает интенсивно потреблять энергию потока и амплитуды колебания неограниченно нарастают. Механизм этого явления легко понять, если представить себе, что происходящие с одинаковой частотой крутильные и изгибные колебания крыла сдвинуты по фазе на , так что, когда крыло движется вверх, его угол атаки (а значит, и подъемная сила) больше, чем когда оно движется вниз. При этом за полный цикл подъемная сила будет совершать положительную работу, и энергия колебания будет непрерывно нарастать.

Сделанный вывод о неограниченном росте амплитуд связан с тем, что рассматривалась линейная система уравнений.

Для определения установившихся амплитуд флаттера следует учесть нелинейности как механического, так и аэродинамического характера. Однако этот вопрос не имеет большого практического значения, так как в реальных самолетных конструкциях разрушение при флаттере происходит раньше, чем установится стационарный режим движения.