ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Сущность явления. Колебания механических систем могут вызываться не только внешними силами, непосредственно совершающими работу на основных перемещениях системы, но и внешними воздействиями, изменяющими параметры системы (жесткость, массу).

В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах возникают нарастающие колебания системы, имеет место так называемый параметрический резонанс.

Примером параметрических колебаний является раскачивание на качелях. В этом случае удается увеличивать размахи колебаний только за счет периодического изменения расстояния центра тяжести системы от точки подвеса качелей. Тот же процесс может быть воспроизведен на маятнике с переменной длиной. Примером параметрического возбуждения колебаний является также явление динамической неустойчивости стержней (рис. 7.1), когда под действием периодически изменяющейся продольной силы стержень совершает поперечные колебания.

Так же как и при обычном резонансе, при параметрическом резонансе колебания развиваются в связи с непрерывным поступлением энергии в систему Проследим этот процесс на примере динамической неустойчивости стержня.

Пусть стержень (рис. 7.1) совершает собственные поперечные колебания с частотой  (рис. 7.2,а):

При этом верхний шарнир получает небольшие вертикальные перемещения  с удвоенной частотой (рис. 7.2,б). Он опускается вниз при отклонениях груза  влево и вправо и занимает наивысшее положение, когда груз проходит положение статического равновесия. Если продольная сила изменяется также с частотой вдвое большей, чем частота поперечных колебаний груза (рис. 7.2, в), то она при каждом цикле совершает работу и энергия системы непрерывно нарастает. Составим уравнение движения груза , закрепленного на стержне:

(7.1)

В данном случае жесткость стержня  является функцией времени, так как она зависит от величины продольной силы , приложенной в данный момент. В соответствии с приближенной формулой

,

где - жесткость стержня при отсутствии продольной силы;  эйлерова критическая сила для стержня.

Таким образом, уравнение (7.1) может быть записано в виде

    (7.2)

Если  является периодической (с периодом ) функцией времени, то уравнение (7.2) называется уравнением Хилла.

Сосредоточим внимание на одном периоде  изменения параметра. Сконструируем два решения уравнения (7.2), удовлетворяющие начальным условиям:

                 , ,         (7.3)

, .

Очевидно, что построить такие решения можно всегда, хотя бы путем численного интегрирования уравнения (7.2). Тогда общее решение уравнения (7.2) получит вид

       ,      (7.4)

где  и  — начальные значения скорости и смещения.

Вычислим значения  и  в конце периода при :

       ,    (7.5)

.

Если предположить, что выполняются равенства

,   , (7.6)

где  — число, большее единицы, то это означает, что в течение периода  и смещение и скорость возрастают в  раз. При следующем периоде снова произойдет такое же возрастание размахов и т.д. Таким образом, при | | > 1 уравнения (7.6) являются достаточными условиями неустойчивости процесса и неограниченного нарастания колебаний. Подставив в уравнения (7.6) выражения (7.5), получим систему линейных однородных уравнений относительно , . Условие наличия нетривиальных решений этого уравнения приводит к равенству

,

т. е. к квадратному уравнению относительно

      .      (7.7)

Свободный член уравнения (7.7) тождественно равен единице. В самом деле,  и  являются решениями уравнения (7.1):

, .

Умножая первое из этих равенств на , второе — на , вычитая почленно и интегрируя от нуля до , находим

,

т.е.

,

Таким образом, характеристический множитель определяется равенством

,

где

.

Очевидно, что если

                   ,      (7.8)

то одно из значений  и движение неустойчиво. Если , то действительные значения  отсутствуют и неустойчивое движение, отвечающее уравнениям (7.6), невозможно.

Пограничным является случай , . Таким образом, для того чтобы установить, имеет ли место параметрический резонанс при данном законе изменения параметра, необходимо вычислить решения ,  и проверить соблюдение неравенства (7.8).

Вычисление решений в общем виде оказывается несложным, если  меняется по кусочно-постоянному закону (например, если в течение половины периода продольная сила постоянная сжимающая, а в течение второй половины — постоянная растягивающая).

Практически более важен случай, когда параметр меняется по гармоническому закону

.

При этом уравнение (7.1) получает вид

                          .                (7.9)

Это уравнение, называемое уравнением Матье, хорошо изучено. Характер его решений зависит от двух безразмерных коэффициентов.

В самом деле, введя «безразмерное» время , приведем уравнение (7.9) к виду

,     (7.10)

где

, .

Коэффициенты l (характеризующий отношение собственной частоты системы при среднем значении параметра  к частоте изменения параметра) и q (характеризующий степень изменения параметра) полностью определяют устойчивость движения. Плоскость изменения l и q может быть разделена на области, соответствующие устойчивым и неустойчивым движениям.

Такая диаграмма (диаграмма Айнса-Стретта) представлена на рис. 7.3. Области устойчивости на рисунке заштрихованы. Таким образом, для того чтобы определить, устойчиво или неустойчиво движение, описываемое уравнением (7.9), достаточно вычислить коэффициенты l, q, нанести соответствующую точку на диаграмму и установить, попадает ли она в устойчивую (заштрихованную) или в неустойчивую (белую) область.

Проследим, как изменяется устойчивость системы при изменении частоты . В этом случае отношение q/l сохраняет постоянное значение и соответствующая точка на диаграмме Айнса-Стретта движется по лучу, проходящему через начало координат. При этом точка последовательно попадает то в области устойчивости, то в области неустойчивости. Как легко видеть, при малом изменении параметра (q мало) неустойчивость имеет место при значениях параметра /=1,4, 9, ..., т. е. при отношениях = 1/2; 1; 3/2; 2; 5/2 и т. д.