СН0ВНЫЕ ТЕ0РЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

В полете масса ракеты непрерывно уменьшается главным образом вследствие выработки топлива. В связи с этим возникает необходимость определять, какие частицы следует включать в состав ракеты и какие считать уже отделившимися от нее. В этом вопросе имеется некоторая неопределенность: не ясно, в какой именно момент частица, движущаяся в струе газов, вытекающих из камеры сгорания двигателя, покидает ракету. Эту неопределенность можно устранить, если ввести понятие контрольной поверхности, условно рассматриваемой как границы ракеты. В качестве такой поверхности, которую далее будем называть также оболочкой ракеты, удобно принять замкнутую поверхность, образуемую наружной поверхностью ракеты и выходными сечениями сопел двигателей. Массу ракеты составляют только те частицы, которые в данный момент находятся внутри этой поверхности.

Через некоторую часть контрольной поверхности происходит истечение массы, что приводит к изменению состава заключенных в ней материальных частиц. Поэтому при изучении движения ракету необходимо рассматривать как материальную систему переменного состава.

Классические теоремы динамики систем постоянного состава - теоремы об изменении количества движения и изменении кинетического момента к системам переменного состава непосредственно не применимы. Однако, используя эти теоремы, можно вывести аналогичные теоремы и сформулировать принцип составления уравнений движения для систем переменного состава, в частности для ракет.

Рассмотрим замкнутую поверхность  (рис 1.1), которая ограничивает объем V, заполненный разнообразными (твердыми, жидкими, газообразными) частицами. С течением времени одни частицы выходят из объема V, а другие, наоборот, входят в него. Совокупность материальных частиц, заключенных в объеме V, является системой переменного состава. Обозначим эту систему через .

Пусть поверхность и материальные частицы перемещаются относительно некоторой инерциальной системы координат . Поверхность  при этом может деформироваться. Количество движения и кинетический момент системы  относительно точки  обозначим соответственно через К и L.

Наряду с системой  введем в рассмотрение систему постоянного состава *, состоящую только из тех материальных частиц, которые в некоторый фиксированный момент времени t заполняли объем V. Через К* и L* обозначим количество движения и кинетический момент системы * относительно точки .

Системы переменного  и постоянного * состава в момент времени t совпадают. Поэтому

К*(t) = K(t), L*(t) = L(t). (1.1.1)

При t₁  t системы  и * будут состоять из разных частиц. Вследствие этого

К*(t₁) = К(t₁) + k(t₁); L*(t₁) = L(t₁) + l(t₁), (1.1.2)

где k(t₁) и l(t₁) – изменения соответственно количества движения и кинетического момента системы , связанные с переменой ее состава за время t = t₁ – t .

Вычтем (1.1.1) из (1.1.2) и разделим полученную разность на t. Переходя далее к пределу при t₁  t и учитывая при этом, что

k(t) =0; l(t) =0,               (1.1.3)

получим

; .  (1.1.4)

Производные dk/dt, dl/dt представляют собой секундные расходы количества движения и кинетического момента через поверхность  в момент времени t.

Соотношения (1.1.4) имеют кинематический характер и справедливы для любой системы координат (инерциальной или неинерциальной).

В рассматриваемой инерциальной системе координат  к системе * как к системе постоянного состава применимы следующие теоремы классической динамики об изменении количества движения и кинетического момента;

1) производная по времени от количества движения системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил;

2)  производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра (в данном случае относительно точки ) равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

На основании этих теорем в фиксированный момент времени t.

; . (1.1.5)

где F и М – соответственно главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих в момент времени t на систему *, а значит, и на систему .

.Из равенств (1.1.4) и (1.1.5) следуют равенства

; . (1.1.6)

Соотношения (1.1.6), полученные для момента времени t, остаются справедливыми и для любого другого момента времени t', если считать, что F и М – главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на систему , а dk/dt, dl/dt – секундные расходы количества движения и кинетического момента через поверхность  в рассматриваемый период времени t'.

Формулы (1.1.6) представляют собой математическую запись теорем об изменении количества движения и кинетического момента системы переменного состава.