ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.

Вынужденные колебания возникают в механической системе в результате воздействия на нее внешних (обычно периодических) возмущающих сил или ударов (импульсов).

Мы начнем с разбора простейшего случая, когда внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону

           (1.1):

где Н – максимальное значение или амплитуда возмущающей силы; р — число полных циклов изменения силы за 2π секунд. Уравнение колебаний линейного осциллятора в предположении что, кроме силы Q на него действует восстанавливающая сила, пропорциональная отклонению q и сопротивление отсутствует, запишем следующим образом;

             (1.2):

или

                (1.3):

где  ,

Общее решение этого уравнения при  получится как сумма общего решения однородного уравнения

            (1.4):

и частного решения уравнения (1.3):

здесь С₁  и С₂ – произвольные постоянные.

Пусть   и  при . Тогда ,   и

  (1.5)

Первые два слагаемых правой части уравнения (1.5) соответствуют свободным колебаниям с собственной частотой k, т. е. колебаниям, какие совершал бы осциллятор в отсутствие возмущающей силы. При называемых нулевыми начальных условиях, когда  при , такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое — гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой k, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание также относится к свободным колебаниям. Оно всегда сопровождает вынужденные колебания, при любых начальных условиях, от которых оно вообще не зависит. Его мы будем называть свободным сопровождающим колебанием.

Четвёртое слагаемое:

.

представляет чисто вынужденные колебания осциллятора.

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассматриваемом случае представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных; сопровождающих свободных и чисто вынужденных.