ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОРПУСА РАКЕТЫ

(продольные)

Продольные колебания ракеты с ЖРД - это колебания замкнутой системы, основными физическими звеньями которой являются корпус ракеты, двигатель и топливоподающие магистрали. Если из замкнутой системы выделить одно звено, в данном случае корпус ракеты, то можно рассмотреть его вынужденные колебания под действием отклонения тяги двигателя.

Рассмотрим вынужденные колебания корпуса ракеты, схемой которой является неоднородный стержень с упругоподвешенными сосредоточенными массами различной величины. Уравнение вынужденных продольных колебаний корпуса ракеты можно представить в виде

где - функция Дирака, обладающая следующим свойством:

Сосредоточенная сила , передаваемая стержню через пружину, численно равна силе инерции массы :

где  - перемещение массы .

Перемещение стержня  при вынужденных колебаниях представим в виде разложения в ряд по формам собственных колебаний:

Здесь  - перемещение центра масс системы;  - обобщенная координата упругих колебаний;  - собственная форма колебаний n-го тона стержня с упругоподвешенными сосредоточенными массами

При  функция  будет многозначной со значениями , . Для всех остальных  эта функция будет иметь одно значение .

Введем функцию

и следующее правило интегрирования функции: 

Теперь с учетом всех выше изложенных зависимостей уравнение

можно представить в таком виде:

При  и  переменные в уравнении  можно разделить и получить уравнение для определения собственных форм и частот колебаний:

Функции , удовлетворяющие этому уравнению и граничным условиям

; ,

ортогональны с весовой функцией .

Условие ортогональности можно представить в виде

Будем считать функций  и частоты  известными и перейдем к рассмотрению задачи о вынужденных колебаниях. Подставив в уравнение

вместо  его выражение из уравнения , получим

.

Проинтегрируем это уравнение по  на отрезке . Затем умножим уравнение на , где  - произвольное фиксированное число, и проинтегрируем его по  на отрезке . Принимая во внимание, что

,

получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения обобщенных координат  и ;

;

,

где

;

;

.

Несмотря на сложность колебательной системы, такая простая структура уравнений

достигается потому, что собственные формы и частоты колебаний определены для корпуса с учетом колебаний жидкости в упругих баках как единой колебательной системы.

Вынужденные продольные колебания ракеты могут происходить под воздействием внешних сил - отклонения тяги двигателя и отклонения аэродинамической силы лобового сопротивления. Отклонение тяги двигателя оказывает значительно большее влияние на продольные колебания корпуса ракеты, чем отклонение силы лобового сопротивления. Поэтому в практических расчетах отклонение силы лобового сопротивления обычно не учитывают. Когда расходную магистраль выделяют в отдельное звено, отклонение давления жидкости перед входом в насос также будет создавать внешнюю силу по отношению к корпусу. На корпус ракеты эта сила передается через подвеску насоса (двигателя).

Для уравнения  внешняя сила

.

Для второго уравнения  приведенная сила

,

где  - отклонение силы двигателя;  - отклонение силы давления жидкости перед входом в насос.

Знак минус перед силой  обозначает, что за положительное перемещение принято перемещение корпуса от вершины к хвостовой части ракеты, т.е. против направления силы тяги.