Решение задач линейного программирования графическим методом.

1. Решение задачи использования ресурсов графическим методом.При производстве двух видов продукции используется  видов ресурсов. Известно:  - запасы ресурсов;  - расход каждого  - го вида ресурса на изготовление единицы  - й продукции,  - прибыль, получаемая при реализации единицы  - й продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль. (Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 575 с. – (Серия «Высшее образование»).)

2. Решение задачи о составлении рациона питания графическим методом. Животные должны получать ежедневно  питательных веществ в количестве не менее . В рацион животных входят корма двух видов. Известно:  - содержание  - го питательного вещества в единице  - го вида корма;  - стоимость единицы  - го вида корма. Составить суточный рацион кормления животных, обеспечивающий минимальные затраты. (Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 575 с. – (Серия «Высшее образование»).)

3. Решение задачи о выборе технологии графическим методом.Предприятие для выпуска некоторой продукции использует две технологии (два способа). При этом необходимо три вида ресурсов. Известно: , ед.  - запасы ресурсов; , ед./ч  - затраты  - го вида ресурса за 1 ч работы с использованием  - й технологии; , руб./ч  - прибыль предприятия от реализации продукции, выпускаемой за 1 ч работы с использованием  - й технологии; , ч – общее время работы предприятия по обеим технологиям. Найти, сколько времени по каждой технологии должно работать предприятие, чтобы обеспечить максимум прибыли от реализации выпускаемой продукции при . (Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 575 с. – (Серия «Высшее образование»).)

4. Решение задачи построения оптимальной производственной программы предприятия графическим методом.Предприятие производит двух видов продукции, каждый из которых проходит обработку на m видах оборудования. Введем обозначения:  – трудоемкость изготовления одной единицы продукции -го вида на -м виде оборудования;  – годовой фонд времени работы оборудования i-го вида;  – прибыль с одной единицы продукции -го вида;  – директивные задания на год по -му виду продукции (продукция -го вида должна быть выпущена в количестве не менее  единиц и не более  единиц). Требуется составить годовой план работы предприятия, удовлетворяющий директивным заданиям по выпуску всех видов продукции, трудоемкость которого не превосходит годового фонда времени работы по каждому виду оборудования, и при этом получить максимум прибыли от реализации изготовленной продукции. (Лутманов С.В.Линейные задачи оптимизации: Учеб. пособие /Перм. ун.-т. – Пермь, 2004. Ч.1. Линейное программирование -128 с.)

5. Решение задачи оптимального раскроя ширины сетки бумагоделательной машины графическим методом.Ширина отливаемой полосы бумаги ограничена шириной сетки  бумагоделательной машины. Отлив бумажной полосы меньших размеров влечет непроизводительные расходы по обслуживанию бумагоделательной машины. Бумажная фабрика имеет заказ на изготовление двух различных типов размеров бумаги шириной  и массой . Выполнение заказа осуществляется путем отлива бумажной полосы переменной ширины с дальнейшей ее разрезкой по типоразмерам бумаг. Отходы при резке бумажной полосы недопустимы. Требуется определить такой профиль бумажной полосы, для которого неиспользуемая площадь сетки бумагоделательной машины минимальна. (Лутманов С.В.Линейные задачи оптимизации: Учеб. пособие /Перм. ун.-т. – Пермь, 2004. Ч.1. Линейное программирование -128 с.)

6. Решение задачи минимизации расходов при производстве изделий графическим методом. Выполнить заказ по производству n изделий И₁ и m изделий И₂ взялись бригады Б₁ и Б₂ . Производительность бригады Б₁ по производству изделий И₁ и И₂ составляет соответственно  и  изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады  ч. Производительность бригады Б₂ – соответственно  и  изделия в час, а ее фонд рабочего времени –  ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б₁ равны соответственно  и  руб., для бригады Б₂ –  и  руб. Найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа. (Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.)

7. Решение задачи минимизации отходов при производстве оборудования графическим методом.Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани n деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В таблице приведены характеристики вариантов раскроя k м² ткани и комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет p м² . В ближайший месяц планируется сшить t изделий. Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Таблица 1 Характеристики вариантов раскроя отрезов ткани по k м²

Вариант раскроя	Количество деталей, шт./отрез						Отходы, м2/отрез
	1	2	3	4	5	6
1
2
Комплектность шт./изделие

(Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.)

8. Решение задачи оптимизации производства при максимизации прибыли графическим мтодом. При изготовлении изделий И₁ и И₂ используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия И₁ требуется  и  станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также  и  кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия И₂ требуется, , ,  и  соответствующих единиц тех же ресурсов. Цех располагает  и  станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и  и  кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И₁ составляет  руб. и от единицы изделия И₂ –  руб. Найти оптимальный план производства для максимизации прибыли, учитывая, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью. (Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.)

9. Решение задачи оптимального комплектования поездов при максимизации количества пассажиров графическим методом.С вокзала можно отправлять ежедневно курьерские и скорые поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице 2.

Таблица 2 Исходные данные задачи

Характеристики парка вагонов	Тип вагона
	Багажный	Почтовый	Плацкартный	Купейный	Мягкий
Число вагонов в курьерском поезде, шт.		−
Число вагонов в скором поезде, шт.
Вместимость вагонов, чел.	–	–
Наличный парк вагонов, шт.

Найти такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число ежедневно отправляемых пассажиров достигло максимума. (Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.)

10. Решение задачи использования мощностей оборудования графическим методом. Предприятие имеет двемодели машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: Т — время работы каждой машины; продукции -го вида должно быть выпущено не менее  единиц. Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой -й машины по выпуску -го вида продукции b_ij и стоимость единицы времени, затрачиваемого -й машиной на выпуск -го вида продукции .

(Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.)

11. Решение задачи минимизации дисбаланса на линии сборки графическим методом. Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из т различных узлов. Эти узлы изготавливаются на двухзаводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску -го узла неодинакова и равна . Каждый завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства т узлов, равного величине . Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

(Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.)

12. Решение задачи о диете графическим методом. Крупная фирма имеет возможность покупать дваразличных вида сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов). Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удовлетворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством фирмы стоит задача определить количество каждого -го сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

(Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с: ил.)

13. Решение задачи максимизации прибыли производства графическим методом. Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется  м шерсти,  м лавсана и  чел.-день трудозатрат; для мужского костюма –  м шерсти,  м лавсана и  чел.-день трудозатрат. На пошив этих костюмов имеется  м шерсти,  м лавсана и  чел.-дней трудозатрат. По плану костюмов не должно быть менее  штук и необходимо обеспечить прибыль не менее  рублей. Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет  рублей, а мужского –  рублей.

(Грешилов А.А. Прикладные задачи математического программирования. Учебное пособие. – 2-е изд. – М.: Логос, 2006. – 288.: ил.)

14. Решение задачи нахождения оптимального плана производства графическим методом. На кондитерской фабрике изготавливают два продукта, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Миндаль покупается фабрикой по цене  за килограмм, фундук - , арахис - . Продукт 1 должен содержать не менее % миндаля и не более  фундука, продукт 2 – не менее  миндаля. Цена готовых продуктов соответственно  и  руб. за килограмм. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля  кг, фундука -  кг, арахиса -  кг. Построить план производства продуктов, обеспечивающий максимальную прибыль.

(Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 352 с.)